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2．3双曲线2．3.1双曲线及其标准方程学习目标1．了解双曲线的定义，几何图形及标准方程的推导过程．2．掌握双曲线的标准方程．3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的实际问题．课前自主学案温故夯基已知椭圆方程为5x2＋9y2＝45，a、b、e分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、离心率，则a＝__，b＝____，e＝___.3523知新益能1．双曲线的定义平面内与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做_______．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的_____．双曲线焦距2．双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)焦点______________焦距|F1F2|＝2c，c2＝a2＋b2(±c,0)(0，±c)问题探究(1)如果去掉“小于|F1F2|”这一条件，轨迹会有怎样的变化？(2)如果去掉定义中的“绝对值”，点的轨迹会变成什么？提示：(1)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；当2a|F1F2|时，动点的轨迹不存在．(2)动点的轨迹是双曲线的一支．课堂互动讲练求双曲线的标准方程考点突破与求椭圆的标准方程的方法一样，若由题设条件易于确定方程的类型，可先设出方程的标准形式，再确定方程中的参数a，b的值，即“先定型，再定量”．若两种类型都有可能，则应进行分类讨论．(1)求焦点是F1(0，－4)，F2(0,4)且过点P(22，－6)的双曲线的标准方程；(2)求焦点在y轴上，且过点P1(3，－42)，P2(94，5)的双曲线的标准方程．例1【思路点拨】(1)是利用待定系数法求双曲线的标准方程，待定系数法的关键在于先定位，即确定方程的形式，再定量，即确定a、b的值.(2)是典型的待定系数法求方程问题，列方程组容易，但解出a2、b2难，可将1a2、1b2作整体换元，方程组就简化了．【解】(1)设所示标准方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)且c＝4，∵曲线过点P(22，－6)，∴有36a2－8b2＝1，a2＋b2＝16，∴a2＝12，b2＝4，∴双曲线的标准方程为y212－x24＝1.(2)设双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)．因为P1，P2在双曲线上，所以P1，P2的坐标适合方程，所以有32a2－9b2＝1，25a2－8116b2＝1，令m＝1a2，n＝1b2.则方程组可化为32m－9n＝1，25m－8116n＝1，解得m＝116，n＝19.即a2＝16，b2＝9.∴所求方程为y216－x29＝1.利用定义法求双曲线的标准方程，首先找出两个定点(即双曲线的两个焦点)；然后再根据条件寻找动点到两个定点的距离的差(或差的绝对值)是否为常数，这样确定c和a的值，再由c2＝a2＋b2求b2，进而求双曲线的方程．利用定义法求方程动圆M与两定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，F2：x2＋y2－10x－24＝0都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．例2【思路点拨】外切：圆心距等于半径和→|MF2|－|MF1|＝6→点M轨迹是双曲线一支→方程【解】将圆的方程化成标准式：F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5,0)，半径r1＝1，F2：(x－5)2＋y2＝72，圆心F2(5,0)，半径r2＝7.由于动圆M与定圆F1，F2都外切，所以|MF1|＝r＋1，|MF2|＝r＋7，∴|MF2|－|MF1|＝6，∴点M的轨迹是双曲线的左支，且焦点F1(－5,0)，F2(5,0)，∴c＝5，且a＝3，∴b2＝c2－a2＝52－32＝16.∴动圆圆心M的轨迹方程为x29－y216＝1(x0)．利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件||PF1|－|PF2||＝2a的变形使用，特别是与|PF1|2＋|PF2|2，|PF1|·|PF2|间的关系；二是要与三角形知识相结合，经常利用余弦定理、正弦定理等知识，同时要注意整体思想的应用.双曲线定义的应用已知双曲线x29－y216＝1的左、右焦点分别是F1、F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．例3【思路点拨】可先由双曲线方程确定a、b、c，再利用定义和余弦定理求得|PF1|·|PF2|，从而求得△F1PF2的面积．【解】由x29－y216＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°，所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝64，∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝12×64×32＝163.【名师点评】与焦点三角形有关的问题，常用双曲线的定义，并注意与三角形知识相结合，如余弦定理、勾股定理等，同时要注意整体运算思想的应用．互动探究把本例中的∠F1PF2＝60°改为∠F1PF2＝90°，其他条件不变，求△F1PF2的面积．解：由x29－y216＝1，得a＝3，b＝4，∴c＝5.由双曲线定义及勾股定理得|PF1|－|PF2|＝±6，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝102，∴(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|＝100，∴|PF1|·|PF2|＝100－362＝32，∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|＝16.1．遇到动点到两定点距离之差问题，要联想应用双曲线定义解题，点P在双曲线上，有||PF1|－|PF2||＝2a，充分利用这一隐含条件，是解决问题的重要技巧．2．求双曲线的标准方程主要有：一是没有给出坐标系，必须建立坐标系，根据双曲线的定义确方法感悟定出方程；二是给出标准形式，要先判断出焦点的位置，如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2＋ny2＝1(mn0)的形式求解．3．应用双曲线的定义解题，要分清是双曲线的哪一支，是否两支都符合要求，结合已知条件进行判断．