第二章-机电系统的数学模型

机电工程学院机械类专业技术基础课2013年9月机电系统控制基础哈尔滨工业大学机电工程学院课程目录第6章机电控制系统的设计与校正第1章绪论第3章系统的时域分析法第2章系统的数学模型第4章系统的频域分析法第5章稳定性及稳态误差分析第7章计算机控制系统哈尔滨工业大学机电工程学院第2章系统的数学模型教学内容哈尔滨工业大学机电工程学院本章学习目标•了解数学模型的基本概念。能够运用动力学、电学及相关专业知识，列写机电系统的微分方程。•掌握传递函数的概念、特点，能够用分析法求系统的传递函数。•掌握各个典型环节的特点，传递函数的基本形式及相关参数的物理意义。•了解传递函数框图的组成，能够绘制系统传递函数框图，并实现简化，从而求出系统的传递函数。•掌握闭环系统中向前通道传递函数、开环传递函数、闭环传递函数的定义及求法。教学内容哈尔滨工业大学机电工程学院实际控制系统实际系统的组成框图建立各组成工作框的数学模型系统稳定性系统稳态性系统动态性找出改进系统的有效方法应用分析研究系统建模搞清系统的工作原理引言稳准快哈尔滨工业大学机电工程学院为什么要建立系统的数学模型？什么是数学模型？如何建立数学模型（建模方法）？2.1控制系统数学模型的概念哈尔滨工业大学机电工程学院研究与分析一个系统，首先要定性地了解系统的工作原理及其特性。但是，如果想对系统进行控制，或系统在运行过程中出现故障，或者要进一步改善系统的性能，那么，仅仅了解工作原理和特性是完全不够的。我们还要定量地描述系统的动态性能，揭示系统的结构、参数与动态性能之间的关系。这就需要建立系统的数学模型。为什么建立系统的数学模型－Why？对系统从定性的认识上升到定量的精确分析与设计的需要。2.1控制系统数学模型的概念哈尔滨工业大学机电工程学院什么是数学模型－What？系统的数学模型是系统动态特性的数学描述。是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在的关系。对于同一系统，可以建立多种形式的数学模型。如微分方程、传递函数、时间响应函数、频率特性及状态空间模型等。2.1控制系统数学模型的概念哈尔滨工业大学机电工程学院数学模型微分方程传递函数频率特性时域复数域频域时间响应Bode图Nyquist图2.1控制系统数学模型的概念哈尔滨工业大学机电工程学院分析法：根据系统和元件所遵循的有关定律来推导出数学表达式。实验法：人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应通过数据整理，拟合出比较接近实际系统的数学表达式。简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求，来确定出合理的物理模型。任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化后的元件或系统为该元件或系统的物理模型。如何建立数学模型（建模方法）（How）例如：牛顿运动定律、欧姆定律、克希荷夫定律；虎克定律；流体力学。2.1控制系统数学模型的概念哈尔滨工业大学机电工程学院2.2系统的微分方程哈尔滨工业大学机电工程学院一、系统的微分方程概念及分类微分方程：在时域中描述系统（或元件）动态特性的数学模型。利用微分方程可求得其他形式的数学模型，因此是最基本的数学模型。线性系统非线性系统系统线性定常系统线性时变系统2.2系统的微分方程哈尔滨工业大学机电工程学院线性系统系统的数学模型能用线性微分方程描述。微分方程的系数为常数微分方程的某一（些）系数随时间的变化。线性时变系统：线性定常系统：)()()()(12txtytyktyk)()()()()()(12txtytytktytk线性系统特点：可以运用叠加原理。即系统在有多个输入量同时作用于系统时，可以逐个输入，求出对应的输出，然后把各个输出进行叠加，即为系统的总输出。2.2系统的微分方程哈尔滨工业大学机电工程学院线性系统叠加原理:线性是指系统满足叠加原理，即：)()()(2121xfxfxxf可加性：)()(xfxf齐次性：)()()(2121xfxfxxf或：2.2系统的微分方程实际的物理系统都不可能是线性系统。但是，通过近似处理和合理简化，大量的物理系统都可在足够准确的意义下和一定的范围内视为线性系统进行分析。哈尔滨工业大学机电工程学院用非线性微分方程描述的系统称非线性系统，它不能使用叠加原理。221212222112)()()()()()();()()()(〕＋〔＋但是txtxtytytxtytxtytxty非线性系统为解决非线性带来的问题通常采用局部线性化2.2系统的微分方程哈尔滨工业大学机电工程学院a)建立物理模型（包括力学模型、电学模型等），确定系统或元件的输入量和输出量；b)按照信号的传递顺序，根据各元件或环节所遵循的有关定律建立各元件或环节的微分方程；c)消去中间变量，得到描述系统输入量和输出量之间关系的微分方程；d)整理为标准式，将与输出量有关的各项放在方程的左侧，与输入量有关的各项放在方程的右侧，各阶导数项按降幂排列。二、系统微分方程的建立步骤2.2系统的微分方程哈尔滨工业大学机电工程学院2.2系统的微分方程对线性定常系统，其微分方程的一般形式如下：)()(...)()()()(...)()(0111101111trbtrdtdbtrdtdbtrdtdbtcatcdtdatcdtdatcdtdammmmmmnnnnnn哈尔滨工业大学机电工程学院任何机械系统的数学模型都可以用牛顿定律来建立。机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可以用质量、弹性和阻尼三个要素来描述。惯性和刚度较大的构件可以忽略其弹性，简化为质量块；惯性小，柔度大的构件可以简化为弹簧。质量—弹簧—阻尼系统是常见的对机械系统的抽象。2.2.2机械系统的微分方程哈尔滨工业大学机电工程学院考虑如图所示的质量弹簧系统，滑动表面与质量块之间的摩擦力设为粘性阻尼模型，分析在外力f(t)作用下模型的输出y的变化规律。这是一个系统吗？输入是什么？输出是什么？如何建立描述输入输出之间关系的数学模型？质量—弹簧—阻尼系统2.2.2机械系统的微分方程哈尔滨工业大学机电工程学院质量—弹簧—阻尼系统各部分基本物理规律：•质量（块）)(tfmxy0)(txm)(tv由牛顿运动定律：2.2.2机械系统的微分方程哈尔滨工业大学机电工程学院•弹簧)(tfk)(1tx)(2txk由胡克定律：2.2.2机械系统的微分方程哈尔滨工业大学机电工程学院•粘性阻尼（液压、气压活塞推杆）阻尼器两部分相对运动速度2.2.2机械系统的微分方程哈尔滨工业大学机电工程学院•以弹簧平衡时系统的位置为初始平衡点，由牛顿第二定律建立力平衡方程：)()()()(22tKydttdybtfdttdyM2.2.2机械系统的微分方程MgtftKydttdybdttdyM)()()()(2220002()()()()dytdytMbKytftdtdt进行坐标变换：哈尔滨工业大学机电工程学院图为组合机床动力滑台铣平面时的情况，当切削力f(t)变化时，滑台可能产生振动，从而降低被加工工件的表面质量和精度。试建立切削力f(t)与滑台质量块位移y(t)之间的动力学模型。实例:机械平移系统2.2.2机械系统的微分方程哈尔滨工业大学机电工程学院解：首先将动力滑台连同铣刀抽象成质量－弹簧－阻尼系统的力学模型。根据牛顿第二定律将输出变量项写在等号的左边，将输入变量项写在等号的右边，并将各阶导数项按降幂排列，得22d)(d)(d)(d)(ttymtkyttyBtf)()(d)(dd)(d22tftkyttyBttym2.2.2机械系统的微分方程哈尔滨工业大学机电工程学院机械转动系统Ki(t)o(t)00TK(t)TB(t)B粘性液体齿轮JJ—旋转体转动惯量；K—扭转刚度系数；B—粘性阻尼系数柔性轴2.2.2机械系统的微分方程哈尔滨工业大学机电工程学院实例:机械转动系统如下图示定轴转动系统，旋转体的转动惯量等效为J，转动轴所受的摩擦设为粘性摩擦，阻尼系数为B，转动轴连接刚度为K，等效模型如图(b)所示。若驱动力矩为T，则根据转矩平衡方程，有：KdtdBdtdJT222.2.2机械系统的微分方程哈尔滨工业大学机电工程学院考虑图示转动系统，为输入力矩，试列写以为输出变量的微分方程。22实例:机械转动系统2.2.2机械系统的微分方程哈尔滨工业大学机电工程学院以角位移隔离两个惯性体，（输出设两个变量分别为，列写力矩平衡方程为：2111122121221222222)()(dtdBKdtdJdtdBKdtdJ122122212212222121323122142421KKdtdBdtdJdtdKBKBdtdBBKJKJdtdBJBJdtdJJ1?2.2.2机械系统的微分方程哈尔滨工业大学机电工程学院2.2.2机械系统的微分方程机械系统中基本物理量的折算m电机输入m电机输入电机输入m（a）（b）（c）图(a)为丝杠螺母传动机构，(b)为齿轮齿条传动机构，(c)为同步齿形带传动机构，求三种传动方式下，负载m折算到驱动电机轴上的等效转动惯量J实例:电机驱动进给装置哈尔滨工业大学机电工程学院电机驱动进给装置等效系统J电动机等效转动惯量按等功原理，工作台等直线运动部件质量m的等效转动惯量为：22LmJL—丝杠螺距，即丝杠每转一周工作台移动的直线距离。2.2.2机械系统的微分方程工作台m丝杠L电动机哈尔滨工业大学机电工程学院Lωv2π22LLLLL22mdωdωdTtmm2πdt2π2πdt2πdtLdvTt2πmLdt2.2.2机械系统的微分方程哈尔滨工业大学机电工程学院2.2.2机械系统的微分方程解：对图2-4(b)和(c)所示的情况，设齿轮或皮带轮的分度圆半径为r，负载m可以看作一个质点绕齿轮或带轮转动，则负载折算到电机轴上的等效转动惯量为2mrJm电机输入m电机输入（b）（c）哈尔滨工业大学机电工程学院齿轮传动装置z1T11T22z2齿轮副假设齿轮传动中无功率损耗，且忽略齿轮转动惯量、啮合间隙与变形，则：2112211221rrzzTTT1、T2：转矩1、2：角位移1、2：角速度z1、z2：齿数r1、r2：齿轮分度圆半径2.2.2机械系统的微分方程哈尔滨工业大学机电工程学院T1z1T22z2J1D1J2D2T1集中参数齿轮副模型：J1、J2：齿轮（包括轴）的转动惯量D1、D2：啮合齿轮、支承粘性阻尼系数T：输入转矩2.2.2机械系统的微分方程哈尔滨工业大学机电工程学院齿轮1：)()()()(1112121tTdttdDdttdJtT齿轮2：dttdDdttdJtT)()()(2222222)()(),()(12122211tzzttTzztT利用：有：dttdDzzdttdJzztT)()()(12221212222112.2.2机械系统的微分方程哈尔滨工业大学机电工程学院dttdDdttdJtTII)()()(1212式中：22211JzzJJI——等效折算到输入端的转动惯量其中，动惯量折算到齿轮1一侧的等效转动惯量为齿轮2一侧的转2221Jzz2.2.2机械系统的微分方程哈尔滨工业大学机电工程学院22211DzzDDI——等效折算到输入端的粘性阻尼系数显然，利用，齿轮2一12211221zzTT侧的转矩、转速和角位移同样可等效折算到齿轮1一侧。其中，性阻尼系数折算到齿轮1一侧的等效粘性阻尼系数为齿轮2一侧的粘2221Dzz2.2.2机械系统的微分方程哈尔滨工业大学机电工程学院考虑扭转弹性变形效应时，齿轮2一侧的扭转刚度系数等效到齿轮1一侧时，刚度系数也应乘以