19-20版：2.3.2-平面向量的正交分解及坐标表示-2.3.3-平面向量的坐标运算

第二章§2.3平面向量的基本定理及坐标表示学习目标XUEXIMUBIAO1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PARTONE知识点一平面向量的正交分解把一个向量分解为的向量，叫做把向量正交分解.两个互相垂直知识点二平面向量的坐标表示1.在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个i，j作为基底.对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).2.在直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0).单位向量思考点的坐标与向量坐标有什么区别和联系？答案区别表示形式不同向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有等号意义不同点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y)联系当平面向量的始点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同知识点三平面向量的坐标运算设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，数学公式文字语言表述向量加法a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和向量减法a－b＝(x1－x2，y1－y2)两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差向量数乘λa＝_________实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标(λx1，λy1)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.AB→1.相等向量的坐标相等.()2.在平面直角坐标系内，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则向量＝(x1－x2，y1－y2).()AB→思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√×3.与x轴，y轴方向相同的两个单位向量分别为：i＝(1,0)，j＝(0,1).()4.当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.()√√提示＝(x2－x1，y2－y1).AB→2题型探究PARTTWO题型一平面向量的坐标表示例1如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，OA→＝a，AB→＝b.四边形OABC为平行四边形.(1)求向量a，b的坐标；(2)求向量BA→的坐标；解BA→＝－AB→＝32，－332.(3)求点B的坐标.解OB→＝OA→＋AB→＝(22，22)＋－32，332＝22－32，22＋332.反思感悟在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标定义求坐标.跟踪训练1在平面直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算出它们的坐标.题型二平面向量的坐标运算例2已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：(1)2a＋3b；(3)12a－13b.解2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1)＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7).(2)a－3b；解a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1).解12a－13b＝12(－1,2)－13(2,1)＝－12，1－23，13＝－76，23.反思感悟向量坐标运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.跟踪训练2已知点A(0,1)，B(3,2)，向量AC→＝(－4，－3)，则向量BC→等于A.(－7，－4)B.(7,4)C.(－1,4)D.(1,4)√解析设C(x，y)，则AC→＝(x，y－1)＝(－4，－3)，即x＝－4，y＝－2，故C(－4，－2)，则BC→＝(－7，－4)，故选A.典例已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若第三象限的点P满足AP→＝AB→＋λAC→，则实数λ的取值范围是A.(－∞，－1)B.－∞，－35C.－1，－47D.－1，－35向量坐标运算的应用√核心素养之数学运算HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN素养评析明确向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，正确进行向量的坐标运算是解题的关键，这正是数学核心素养数学运算的具体体现.3达标检测PARTTHREEA.(－1,2)B.(1，－2)C.(－1，－2)D.(1,2)1.已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则12a－32b等于√12345解析12a－32b＝12(1,1)－32(1，－1)＝12－32，12＋32＝(－1,2).2.已知向量OA→＝(3，－2)，OB→＝(－5，－1)，则向量12AB→的坐标是A.－4，12B.4，－12C.(－8,1)D.(8,1)√12345解析∵AB→＝OB→－OA→＝(－8,1)，∴12AB→＝－4，12.3.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且BC→＝2AD→，则顶点D的坐标为A.2，72B.2，－12C.(3,2)D.(1,3)√12345解析设D点坐标为(x，y)，则BC→＝(4,3)，AD→＝(x，y－2)，由BC→＝2AD→，得4＝2x，3＝2y－2，∴x＝2y＝72，∴D2，72.4.已知向量a＝(2，－3)，b＝(1,2)，p＝(9,4)，若p＝ma＋nb，则m＋n＝_____.123457解析由于p＝ma＋nb，即(9,4)＝(2m，－3m)＋(n,2n)＝(2m＋n，－3m＋2n)，所以2m＋n＝9且－3m＋2n＝4，解得m＝2，n＝5，所以m＋n＝7.5.已知点A(2,1)，B(－2,3)，且AC→＝12AB→，则点C的坐标为________.12345(0,2)解析设C(x，y)，则(x－2，y－1)＝12(－4,2)＝(－2,1)，∴x＝0，y＝2.课堂小结KETANGXIAOJIE1.向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据.向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化.2.要区分向量终点的坐标与向量的坐标.由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量的终点坐标不是向量的坐标，若A(xA，yA)，B(xB，yB)，则＝(xB－xA，yB－yA).3.向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积.AB→