高中数学选修4-4习题(含答案)

试卷第1页，总15页统考作业题目——4-46.21．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为12,(2xttyt为参数），以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位。曲线C的极坐标方程为22cos4sin40.（1）求l的普通方程和C的直角坐标方程；（2）已知点M是曲线C上任一点，求点M到直线l距离的最大值.2．已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点𝑂处，极轴与𝑥轴的正半轴重合，且长度单位相同。直线𝑙的极坐标方程为：𝜌=10√2sin(𝜃−𝜋4)，点P(2cos𝛼,2sin𝛼+2)，参数𝛼∈[0,2𝜋]．（I）求点𝑃轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）求点𝑃到直线𝑙距离的最大值．试卷第2页，总15页1、【详解】（1）12,2xtyt10xy因为222,cos,sinxyxy，所以222440xyxy，即22(1)(2)1xy（2）因为圆心(1,2)到直线10xy距离为|121|222，所以点M到直线l距离的最大值为22221.r2、解：（Ⅰ）设P(𝑥,𝑦)，则{𝑥=2cos𝛼𝑦=2sin𝛼+2，且参数𝛼∈[0,2𝜋]，消参得：𝑥2+(𝑦−2)2=4所以点𝑃的轨迹方程为𝑥2+(𝑦−2)2=4（Ⅱ）因为𝜌=10√2sin(𝜃−𝜋4)所以𝜌√2sin(𝜃−𝜋4)=10所以𝜌sin𝜃−𝜌cos𝜃=10，所以直线𝑙的直角坐标方程为𝑥−𝑦+10=0法一：由（Ⅰ）点𝑃的轨迹方程为𝑥2+(𝑦−2)2=4圆心为（0,2），半径为2．d=|1×0−1×2+10|√12+12=4√2，𝑃点到直线𝑙距离的最大值等于圆心到直线𝑙距离与圆的半径之和，所以𝑃点到直线𝑙距离的最大值4√2+2．法二：d=|2cos𝛼−2sin𝛼−2+10|√12+12=√2|cos𝛼−sin𝛼+4|=√2|√2cos(𝛼+𝜋4)+4|当𝑎=74𝜋时，𝑑max=4√2+2，即点𝑃到直线𝑙距离的最大值为4√2+2．试卷第3页，总15页6.33．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线𝐶1的参数方程为{𝑥=cos𝜃𝑦=√3sin𝜃（𝜃为参数），曲线𝐶2的参数方程为{𝑥=4−√22𝑡𝑦=4+√22𝑡（𝑡∈𝑅，t为参数）.(1)求曲线𝐶1的普通方程和曲线𝐶2的极坐标方程；(2)设P为曲线𝐶1上的动点，求点P到𝐶2上点的距离的最小值，并求此时点P的坐标.4．在直角坐标系xOy中曲线1C的参数方程为cos3sinxy（为参数，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin224.（1）写出1C的普通方程和2C的直角坐标方程；（2）设点P在1C上，点Q在2C上，求||PQ的最小值及此时P的直角坐标.试卷第4页，总15页3、【详解】（1）对曲线𝐶1：cos2𝜃=𝑥2，sin2𝜃=𝑦23，∴曲线𝐶1的普通方程为𝑥2+𝑦23=1．对曲线𝐶2消去参数𝑡可得𝑡=(4−𝑥)×√2,且𝑡=(𝑦−4)×√2,∴曲线𝐶2的直角坐标方程为𝑥+𝑦−8=0．又∵𝑥=𝜌cos𝜃,𝑦=𝜌sin𝜃，∴𝜌cos𝜃+𝜌sin𝜃−8=√2𝜌sin(𝜃+𝜋4)−8=0从而曲线𝐶2的极坐标方程为𝜌=4√2sin(𝜃+𝜋4)。（2）设曲线𝐶1上的任意一点为𝑃( cos𝜃 , √3sin𝜃 )，则点𝑃到曲线𝐶2：𝑥+𝑦−8=0的距离𝑑=|cos𝜃+√3sin𝜃−8|√2=|2sin(𝜃+𝜋6)−8|√2，当sin(𝜃+𝜋6)=1，即𝜃=𝜋3时，𝑑min=3√2，此时点𝑃的坐标为( 12 , 32 )．4、【详解】（1）曲线1C的参数方程为cos3sinxy（为参数），移项后两边平方可得，2222cossin13yx即有椭圆221:13yCx；曲线2C的极坐标方程为sin224，即有22sincos2222，由cosx，siny，可得40xy，即有2C的直角坐标方程为直线40xy；（2）设(cos,3sin)P，由P到直线的距离为|cos3sin4|2d2sin462x当sin16x时，||PQ的最小值为2，试卷第5页，总15页此时可取3，即有13,22P.试卷第6页，总15页6.45.在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，曲线𝐶的参数方程是{𝑥=2cos𝜃𝑦=√3sin𝜃（θ为参数），以𝑂为极点，𝑥轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线𝑙的极坐标方程为𝜌cos𝜃−𝜌sin𝜃−√3=0．若直线𝑙与曲线𝐶相交于不同的两点A,B，且𝑃(√3,0)，求|𝑃𝐴|⋅|𝑃𝐵|的值．6．已知直线l的参数方程为315(45xttyt为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2sin4cos0．（Ⅰ）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的长．试卷第7页，总15页5、因为𝑥=𝜌cos𝜃,𝑦=𝜌sin𝜃，所以直线𝑙的直角坐标方程为𝑥−𝑦−√3=0，其倾斜角为𝜋4，过点𝑃(√3,0)，所以直线𝑙的参数方程为{𝑥=√3+𝑡cos𝜋4𝑦=𝑡sin𝜋4（𝑡为参数），即{𝑥=√3+√22𝑡𝑦=√22𝑡（𝑡为参数）．曲线𝐶的参数方程{𝑥=2cos𝜃𝑦=√3sin𝜃（θ为参数）化为普通方程为𝑥24+𝑦23=1，将{𝑥=√3+√22𝑡𝑦=√22𝑡代入曲线𝐶的方程𝑥24+𝑦23=1，整理得7𝑡2+6√6𝑡−6=0，𝛥=(6√6)2−4×7×(−6)=3840，设点𝐴，𝐵对应的参数分别为𝑡1,𝑡2，则𝑡1𝑡2=−67，所以|𝑃𝐴|⋅|𝑃𝐵|=|𝑡1𝑡2|=67．6、【详解】（Ⅰ）将315(45xttyt为参数)消去参数t可得4(1)3xy，即4340xy，故直线l的普通方程为4340xy．由2sin4cos0可得0cos4sin22，把cosx，siny代入上式，可得042xy，即24yx，故曲线C的直角坐标方程为24yx．（Ⅱ）将31545xtyt代入24yx，可得2415250tt，设点A，B对应的参数分别为1t，2t，则12154tt，12254tt，所以22121212152525||||()4()4()444ABtttttt，故线段AB的长为254．试卷第8页，总15页6.57．已知平面直角坐标系x0y，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l过点P(-1，2)，且倾斜角为23，圆C的极坐标方程为)3cos(2。(1)求圆C的普通方程和直线l的参数方程；(2)设直线l与圆C交于M、N两点。求PMPN的值。8．在以极点O为原点，极轴为x轴正半轴的直角坐标系中，曲线1C的参数方程为22xtyt（t为参数），曲线1C在点),(00yxP处的切线l的极坐标方程为323cos2sin.（1）求切线l的直角坐标方程及切点P的直角坐标；（2）若切线l和曲线2:C243cos6sin160相交于不同的两点,AB，求1||PA1||PB的值.试卷第9页，总15页7、【详解】（1）2cos,32cos3sin圆C的方程：2230xyxy，直线l的参数方程为112322xtyt（t为参数）（2）将直线l的参数方程代入圆C的方程，得：22131222tt13132022tt212(323)6230,623,tttt12(323)0tt120,0,tt12||||323PMPNtt8、【详解】（1）切线l的极坐标方程为323cos2sin，∴23cos2sin3，则切线l的直角坐标方程为23230xy，∵曲线1C的参数方程为22xtyt（t为参数），∴曲线1C的普通方程为yx22，即212yx，则yx，又切线l的斜率为3，∴03x，此时032y，故切点P的直角坐标为3(3,)2.（2）切线l的倾斜角为π3，∴切线l的参数方程为1323322xtyt（t为参数），曲线2C的极坐标方程为243cos6sin160，∴曲线2C的直角坐标方程为22436160xyxy，试卷第10页，总15页将1323322xtyt代入22436160xyxy，得2410310tt，设交点,AB对应的参数分别是12,tt，则121253214tttt，∴1212125311210314tttttt，故||1||1PBPA310.6.109．已知曲线𝐶1的参数方程为{𝑥=4+5cos𝑡𝑦=5+5sin𝑡(𝑡为参数)，以坐标原点为极点，𝑥轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线𝐶2的极坐标方程为𝜌＝2𝑠𝑖𝑛𝜃.（1）把𝐶1的参数方程化为极坐标方程；（2）求𝐶1与𝐶2交点的极坐标(𝜌≥0,0≤𝜃＜2𝜋)．10．在直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，以坐标原点𝑂为极点，以𝑥轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为𝜌2−√2𝜌sin(𝜃+𝜋4)=0，曲线E的极坐标方程为𝜌=4cos𝜃.（1）分别求曲线C和E的直角坐标方程；（2）求经过曲线C与E交点的直线的直角坐标方程.试卷第11页，总15页9、【详解】（1）将{𝑥=4+5cos𝑡,𝑦=5+5sin𝑡消去参数t，化为普通方程(𝑥－4)2＋(𝑦－5)2＝25即𝐶1：𝑥2＋𝑦2－8𝑥－10𝑦＋16＝0.将{𝑥=𝜌cos𝜃,𝑦=𝜌sin𝜃代入𝑥2＋𝑦2－8𝑥－10𝑦＋16＝0得𝜌2－8𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃－10𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃＋16＝0.所以𝐶1的极坐标方程为𝜌2－8𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃－10𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃＋16＝0.（2）𝐶2的普通方程为𝑥2＋𝑦2－2𝑦＝0，由{𝑥2+𝑦2−8𝑥−10𝑦+16=0,𝑥2+𝑦2−2𝑦=0解得{𝑥=1,𝑦=1或{𝑥=0,𝑦=2.所以C1与C2交点的极坐标分别为(√2,π4)，(2,π2).10、【详解】（1）由题意，曲线C的直角坐标方程为：𝜌2−√2𝜌sin(𝜃+𝜋4)=0⇒𝜌2−𝜌sin𝜃−𝜌cos𝜃=0⇒𝑥2+𝑦2−𝑥−𝑦=0；曲线E的直角坐标方程为：𝜌=4cos𝜃⇒𝜌2=4𝜌cos𝜃⇒𝑥2+𝑦2−4𝑥=0.（2）由题意得：{𝑥2+𝑦2−𝑥−𝑦=0𝑥2+𝑦2−4𝑥=0得3𝑥−𝑦=0.即所求直线的直角坐标方程为3𝑥−𝑦=0试卷第12页，总15页6.1111．在平面直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为2cos(sinxy参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C是圆心的极坐标为（7,2）且经过极点的圆（1）求曲线C1的极坐标方程和C2的普通