中考专题复习——最短路径问题

ABCDABABLABCD图(2)EBDACP图(3)DBAOCP中考专题复习——路径最短问题一、具体内容包括：蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题；线段（之和）最短问题；二、原理：两点之间，线段最短；垂线段最短。（构建“对称模型”实现转化）三、例题：例1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A沿木块侧面爬到点B处，则它爬行的最短路径是。②如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是。例2、①如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。②如图，直线L同侧有两点A、B，已知A、B到直线L的垂直距离分别为1和3，两点的水平距离为3，要在直线L上找一个点P，使PA+PB的和最小。请在图中找出点P的位置，并计算PA+PB的最小值。③要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km和3Km，张村与李庄的水平距离为3Km，则所用水管最短长度为。四、练习题（巩固提高）（一）1、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是。2、现要在如图所示的圆柱体侧面A点与B点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm，底面圆周长为16cm，则所缠金丝带长度的最小值为。3、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A点爬到点B处吃到食物，知圆柱体的高为5cm，底面圆的周长为24cm，则蚂蚁爬行的最短路径为。4、正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为。第4题第5题第6题第7题5、在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，点E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为。6、如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值为_______。7、AB是⊙O的直径，AB=2，OC是⊙O的半径，OC⊥AB，点D在AC上，AD=2CD，点P是半径OC上的一个动点，则AP+PD的最小值为_______。（二）8、如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，若CD＝18cm，则△PMN的周长为________。9、已知，如图DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E，且AC＝5，BC＝8，则△AEC的周长为__________。10、已知，如图，在△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，AC＝8，△ABE的周长为14，则AB的长。第2题张村李庄张村李庄AABAB第1题第3题⌒⌒⌒11、如图，在锐角△ABC中，AB＝42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____．12、在平面直角坐标系中，有A（3，－2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n=时，AC+BC的值最小．CDABEFP第11题第14题第15题13、△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6,BC=8,过AB边上一点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，E、F是垂足，则EF的最小值等于．14、如图，菱形ABCD中，AB=2,∠BAD=60°，点E、F、P分别是AB、BC、AC上的动点，则PE+PF的最小值为___________.15、如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？16、一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）．（1）求该函数的解析式；（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标．（三）16、如图，已知∠AOB内有一点P，试分别在边OA和OB上各找一点E、F，使得△PEF的周长最小。试画出图形，并说明理由。17、如图，直线l是第一、三象限的角平分线．实验与探究：（1）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（－2，5）关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：B′、C′；归纳与发现：（2）结合以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为；运用与拓广：（3）已知两点D（1，－3）、E（－1，－4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标．18、几何模型：条件：如图，A、B是直线L同旁的两个定点．问题：在直线L上确定一点P，使PA+PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A，连结AB交l于点P，则PAPBAB的值最小（不必证明）．模型应用：（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连结BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连结ED交AC于P，则PBPE的最小值是___________；（2）如图2，O⊙的半径为2，点ABC、、在O⊙上，OAOB，60AOC°，P是OB上一动点，求PAPC的最小值；（3）如图3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．19、问题探究（1）如图①，四边形ABCD是正方形，10ABcm，E为边BC的中点，P为BD上的一个动点，求PCPE的最小值；（2）如图②，若四边形ABCD是菱形，10ABcm，45ABC°，E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PCPE的最小值；问题解决（3）如图③，若四边形ABCD是矩形，10ABcm，20BCcm，E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PCPE的最小值；OABPRQ图3ABECBD图1OABC图2PABA′PlADBCADBCEPACDB20.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），连结0A，将线段OA绕原点O顺时针旋转120。，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果均保留根号）解：（1）过点B作BD⊥x轴于点D，由已知可得：OB=OA=2，∠BOD=60。.在Rt△OBD中，∠ODB=90。，∠OBD=30。.∴OD=1，DB=3∴点B的坐标是（1，3）.（2）设所求抛物线的解析式为2yaxbxc，由已知可得：03420cabcabc解得：323,,0.33abc∴所求抛物线解析式为2323.33yxx（3）存在.由232333yxx配方后得：233133yx∴抛物线的对称轴为x=－1.（也写用顶点坐标公式求出）∵OB=2，要使△BOC的周长最小，必须BC+CO最小.∵点O与点A关于直线x=－1对称，有CO=CA.△BOC的周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA.∴当A、C、B三点共线，即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时，BC+CA最小，此时△BOC的周长最小.设直线AB的解析式为3,:20kbykxbkb则有解得：323,.33kb∴直线AB的解析式为323.33yx当x=－1时，3.3y∴所求点C的坐标为（－1，33）.21、如图，抛物线2yaxbxc的顶点P的坐标为4313，，交x轴于A、B两点，交y轴于点(03)C，．（1）求抛物线的表达式．（2）把△ABC绕AB的中点E旋转180°，得到四边形ADBC．判断四边形ADBC的形状，并说明理由．（3）试问在线段AC上是否存在一点F，使得△FBD的周长最小，若存在，请写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意知解得33a，233b-------------3分（列出方程组给1分，解出给2分）∴抛物线的解析式为2323333yxx-----------4分（2）设点A（1x，0），B（2x，0），则23233033xx，解得1213xx，-------------5分DOxyBEPAC∴∣OA∣＝1，∣OB∣＝3．又∵tan∠OCB＝||3||OBOC∴∠OCB＝60°，同理可求∠OCA＝30°．∴∠ACB＝90°----------6分由旋转性质可知AC＝BD，BC＝AD∴四边形ADBC是平行四边形----------------------------7分又∵∠ACB＝90°．∴四边形ADBC是矩形--------------------------8分（3）延长BC至N，使CNCB．假设存在一点F，使△FBD的周长最小．即FDFBDB最小．∵DB固定长．∴只要FD+FB最小．又∵CA⊥BN∴FD+FB＝FD+FN．∴当N、F、D在一条直线上时，FD+FB最小．---------------------10分又∵C为BN的中点，∴12FCAC（即F为AC的中点）．又∵A（－1，0），C（0，－3）∴点F的坐标为F（12，32）∴存在这样的点F（12，32），使得△FBD的周长最小．---12分22.已知：直线112yx与y轴交于A，与x轴交于D，抛物线212yxbxc与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形且以P为直角顶点时，求点P的坐标．（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使||AMMC的值最大，求出点M的坐标．答案：（1）将A（0，1）、B（1，0）坐标代入212yxbxc得1102cbc解得321bc∴抛物线的解折式为213122yxx．3分（2）设点E的横坐标为m，则它的纵坐标为213122mm，则E（m，213122mm）．又∵点E在直线112yx上，∴213111222mmm．解得10m（舍去），24m．∴E的坐标为（4，3）．4分过E作EFx⊥轴于F，设P(b,0)．由90OPAFPE°，得OPAFEP．RtRtAOPPFE△∽△．由AOOPPFEF得143bb．解得11b，23b．∴此时的点P的坐标为（1，0）或（3，0）．6分（3）抛物线的对称轴为32x．∵B、C关于x23对称，∴MCMB．要使||AMMC最大，即是使||AMMB最大．8分由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时||AMMB的值最大．易知直线AB的解折式为1yx．∴由132yxx得3212xy∴M（23，－21）．10分yxODEABCyEABCF