可逆矩阵判定典型例题

典型例题（二）方阵可逆的判定例1设A是n阶方阵,试证下列各式：（1）若,则；（2）若A、B都是n阶可逆矩阵,则；（3）；（4）若,则；（5）；（6）若,则（l为自然数）；（7）.证（1）因为,故A是可逆矩阵,且两边同时取转置可得故由可逆矩阵的定义可知是AT的逆矩阵.即（2）利用方阵与其对应的伴随矩阵的关系有（2-7）另一方面（2-8）比较式（2-7）、（2-8）可知又因为A、B均可逆,所以(AB)也可逆,对上式两端右乘可得（3）设n阶方阵A为于是可得A的伴随矩阵为注意到A的转置矩阵为0||ATTAA)()(11***)(ABABTTAA)()(**0||A*11*)()(AA*1*)1()(AAn0||AllAA)()(11*1*)(AkkAn0||AEAA1EEAAAATTTT)()()(11TA)(111)()(TTAAEABABAB||)()(*BIABBAABABAB)|(|)())((*****EABEBABBA||||||||*))(()()(***ABABABAB1)(AB***)(ABABnnnnnnaaaaaaaaaA212222111211*AnnnnnnAAAAAAAAAA212221212111*可推出的伴随矩阵为比较与可知（4）因为,故A可逆,A的逆矩阵为,并且由可知由于,可逆且可得另一方面,由由矩阵可逆的定义知,可逆,并且（5）对于（3）给出的矩阵A,有即的代数余子式为故nnnnnnTaaaaaaaaaA212221212111TAnnnnnnTAAAAAAAAAA212222111211*)(*A*)(TA**)()(TTAA0||A1AEAAA||*1*||AAA0||A1AEAAA||)(1*11AAA||1)(*1EAAAAAA||1||)(1*1**A*11*)()(AAnnnnnnaaaaaaaaaA212222111211ijannnjnjnnijijiinijijiinjjjiaaaaaaaaaaaaaaaa111111111111111111111111)1(),,2,1,()1(1njiAijn（6）因为,故A可逆,并且（7）对于（3）给出的矩阵A,有类似于（5）可知的代数余子式为,故例2设A是n阶非零矩阵,并且A的伴随矩阵满足,证明A是可逆矩阵.证根据矩阵A与其对应的伴随矩阵的关系式,有反证,假设A不可逆,故有,由上式及条件,有（2-6）设矩阵A为由式（2-6）可知比较上式两边矩阵对角线上的元素有故*1121112122112111211111*)1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()(AAAAAAAAAAAnnnnnnnnnnnnnnnn0||AllAAAAAAAA)()()(111111nnnnnnkakakakakakakakakakA212222111111ijkaijnAk1*ATAA*EAAAAA||**0||ATAA*OAAAAT*nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211nnnnnnnnnnnnTaaaaaaaaaaaaaaaaaaAA212221212111212222111211Oaaaaaaaaaaaaaaanininiininiinininiiniiniiininiiniiinii1212111212211211121121),,2,1(012njaniji),,2,1(021njaaajnjjl个l个因此有A=O,与A是n阶非零矩阵矛盾,故A是可逆矩阵.例3设A、B都是n阶可逆矩阵,证明：的充要条件是证必要性：因为因此即充分性：因为,故.例4设A是一个n阶方阵,n为奇数,且,证明不可逆.证因为,故因此有所以故是不可逆矩阵.例5设A是n阶方阵且对某个正整数k满足,证明是可逆矩阵,并求.证由于故对于方阵A的多项式,仍有注意到,故有因此可逆,并且例6设A是阶方阵,是A的伴随矩阵的伴随矩阵,证明：（1）；（2）.证（1）利用矩阵A与矩阵A的伴随矩阵的关系,有即从而有对两边取行列式,有若A可逆,,故,于是有111)(BAABBAAB1111)()(BABAAB)())(()())((11BABAABBAABABBAABBAAB1111)()(BABAAB1,1||AAAT)(AI1AATEAAAAT1|)(|||||EAAAAAAETT|||)(|||EAEAAT||||)1(AEAEn0||AEAEOAkAE1)(AE)1)(1(112kkxxxxx))((12kkAAAEAEAEOAkEAAAEAEk))((12)(AE121)(kAAAEAE)2(nn**)(A*AAAAn2**||)(2)1(**|||)(|nAAEAAA||*EAAA||)(****AAAAAAAAAA||])([)(||)(*********EAAA||*nAEAAAAA||||||||||||**0||A1*||||nAA若A不可逆,则,的秩小于或等于1,故,仍有（2）对两边取行列式,有若A可逆,所以,从而有,于是可知若A不可逆,则例7设A、B是同阶方阵,已知B是可逆矩阵,且满足,证明A和都是可逆矩阵,并求它们的逆矩阵.证因为,由于所以,因而有可逆.由可知由可知.例8设A、B均是n阶方阵,且可逆,则也可逆,并且证考察两个矩阵的乘积因此可逆,并且例9设n阶矩阵A、B和均可逆,证明：（1）也可逆,且（2）证（1）因为两边取行列式有因为A、B、可逆,故所以有故是可逆矩阵.AAAAAAn2***||||)(0||A*A0)(**AAAAn2**||)(EAAA****||)(nAEAAAAA|||||||)(||||)(|********0||A0||||1*nAA2)1(111***||)|(||||)(|nnnnAAAA2)1(**||0|)(|nAAOBABA22BA22)(BBAAABA0||)1(|||||||)(|22BBBAABAAn0||A0||BABAA,EBAAB)()(12ABBA121)()(EBBAA12))((121))((BBAAABEBAEAABEBEBAE11)()(AABEBABAABEBBAEAABEBEBAE111)()())()((])()[(11AABEABAABEBBAEAABEABEBBAE1))((EBABAE)(BAEAABEBEBAE11)()(BA11BAABABBBAABA11111)()()(1111111111111)()()(BBABBABAAABA1)()(1111111BBAABBBAAABA||||||||1111BBAABABA0||1A0||1B0||BA0||11BA11BABBAABEBBAABA11111))((])()[(111)]()[(BABABE故同理可证.（2）因为故同理可证.EABEABE111))((BBAABA1111)()(ABABBA1111)()(])()[(])()[(1111111111BABAAAABAABAAABA11])()[(ABBAIBAIAAABBA11)(1111111)()(ABAAABA1111111)()(BBABBBA