三角函数章末复习

第一章三角函数NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究达标检测1知识梳理PARTONE一、网络构建二、要点归纳1.任意角三角函数的定义在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：(1)y叫做α的，记作，即.(2)x叫做α的，记作，即.(3)叫做α的，记作，即.2.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：.(2)商数关系：tanα＝yx正弦sinαsinα＝y余弦cosαcosα＝x正切tanαtanα＝yx(x≠0)sin2α＋cos2α＝1sinαcosαα≠kπ＋π2，k∈Z.3.诱导公式六组诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式.当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”.π24.正弦函数、余弦函数和正切函数的性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR值域_________________x|x∈R且x≠kπ＋π2，k∈Z[－1,1][－1,1]R对称性对称轴：x＝kπ＋(k∈Z)；对称中心：(kπ，0)(k∈Z)对称轴：x＝kπ(k∈Z)；对称中心：(k∈Z)对称中心：(k∈Z)，无对称轴奇偶性_____________________周期性最小正周期：___最小正周期：___最小正周期：__π2kπ＋π2，0kπ2，0奇函数偶函数奇函数2π2ππ单调性在－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)上单调递增；在π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k∈Z)上单调递减在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减在开区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)上单调递增最值当x＝(k∈Z)时，ymax＝1；当x＝－π2＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；当x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1无最值π2＋2kπ2题型探究PARTTWO题型一三角函数的化简与求值例1已知f(α)＝sin2π－α·cos2π－α·tan－π＋αsin－π＋α·tan－α＋3π.(1)化简f(α)；解f(α)＝sin2α·cosα·tanα－sinα－tanα＝sinα·cosα.(2)若f(α)＝18，且π4απ2，求cosα－sinα的值；解由f(α)＝sinα·cosα＝18可知，(cosα－sinα)2＝cos2α－2sinα·cosα＋sin2α＝1－2sinα·cosα＝1－2×18＝34.又∵π4απ2，∴cosαsinα，即cosα－sinα0，∴cosα－sinα＝－32.(3)若α＝－47π4，求f(α)的值.解∵α＝－47π4＝－6×2π＋π4，∴f－47π4＝cos－47π4·sin－47π4＝cos－6×2π＋π4·sin－6×2π＋π4＝cosπ4·sinπ4＝22×22＝12.反思感悟解决三角函数的化简与求值问题一般先化简再求值.在应用中，要注意掌握解题的技巧.比如：已知sinα±cosα的值，可求cosαsinα，注意应用(cosα±sinα)2＝1±2sinαcosα.跟踪训练1已知α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝15.(1)求tanα的值；解由sinα＋cosα＝15，得1＋2sinαcosα＝125，所以sinαcosα＝－1225，因为α是三角形的内角，所以sinα0，cosα0，所以sinα－cosα＝sinα－cosα2＝sinα＋cosα2－4sinαcosα＝152＋4825＝75，故得sinα＝45，cosα＝－35，所以tanα＝－43.(2)把1cos2α－sin2α用tanα表示出来，并求其值.解1cos2α－sin2α＝cos2α＋sin2αcos2α－sin2α＝1＋tan2α1－tan2α，又tanα＝－43，所以1cos2α－sin2α＝1＋tan2α1－tan2α＝－257.题型二三角函数的图象与性质例2函数f(x)＝3sin2x＋π6的部分图象如图所示.(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；解f(x)的最小正周期为π，x0＝7π6，y0＝3.(2)求f(x)在区间－π2，－π12上的最大值和最小值.解因为x∈－π2，－π12，所以2x＋π6∈－5π6，0，于是，当2x＋π6＝0，即x＝－π12时，f(x)取得最大值0；当2x＋π6＝－π2，即x＝－π3时，f(x)取得最小值－3.反思感悟研究y＝Asin(ωx＋φ)的单调性、最值问题，把ωx＋φ看作一个整体来解决.跟踪训练2已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω0，|φ|π)的部分图象如图所示，且Aπ2，1，B(π，－1)，则φ的值为.－5π6题型三三角函数的最值或值域命题角度1可化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k型例3求函数y＝－2sinx＋π6＋3，x∈[0，π]的最大值和最小值.多维探究解∵x∈[0，π]，∴x＋π6∈π6，7π6，∴－12≤sinx＋π6≤1.当sinx＋π6＝1，即x＝π3时，y取得最小值1.当sinx＋π6＝－12，即x＝π时，y取得最大值4.∴函数y＝－2sinx＋π6＋3，x∈[0，π]的最大值为4，最小值为1.反思感悟利用y＝Asin(ωx＋φ)＋k求值域时要注意角的取值范围对函数式取值的影响.跟踪训练3(2017·全国Ⅲ)函数f(x)＝15sinx＋π3＋cosx－π6的最大值为A.65B.1C.35D.15√解析∵x＋π3＋π6－x＝π2，∴f(x)＝15sinx＋π3＋cosx－π6＝15sinx＋π3＋cosπ6－x＝15sinx＋π3＋sinx＋π3＝65sinx＋π3≤65.∴f(x)max＝65.故选A.命题角度2可化为二次函数型例4函数y＝－tan2x＋4tanx＋1，x∈－π4，π4的值域为.[－4,4]解析∵－π4≤x≤π4，∴－1≤tanx≤1.令tanx＝t，则t∈[－1,1]，∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.∴当t＝－1，即x＝－π4时，ymin＝－4，当t＝1，即x＝π4时，ymax＝4.故所求函数的值域为[－4,4].反思感悟在换元时要立刻写出新元的范围，否则极易出错.跟踪训练4(2017·全国Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋3cosx－34x∈0，π2的最大值是.1解析f(x)＝1－cos2x＋3cosx－34＝－cosx－322＋1.∵x∈0，π2，∴cosx∈[0,1]，∴当cosx＝32时，f(x)取得最大值，最大值为1.例5如果关于x的方程sin2x－(2＋a)sinx＋2a＝0在x∈－π6，5π6上有两个实数根，求实数a的取值范围.题型四数形结合思想在三角函数中的应用解sin2x－(2＋a)sinx＋2a＝0，即(sinx－2)(sinx－a)＝0.∵sinx－2≠0，∴sinx＝a，∴此题转化为求在x∈－π6，5π6上，sinx＝a有两个实数根时a的取值范围.由y＝sinx，x∈－π6，5π6与y＝a的图象(图略)知12≤a1.故实数a的取值范围是12，1.反思感悟数形结合思想贯穿了三角函数的始终，对于与方程解有关的问题以及在研究y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的性质和由性质研究图象时，常利用数形结合思想.A.4B.5C.6D.7跟踪训练5方程lg|x|＝sinx＋π3的实数根的个数为解析由sinx＋π3≤1得－1≤lg|x|≤1，即110≤|x|≤10，方程lg|x|＝sinx＋π3实根的个数就是函数y＝lg|x|与y＝sinx＋π3图象公共点的个数，当x0时，两函数图象如图所示，两图象有3个公共点，同理，当x0时，两图象也有3个公共点，故两图象共有6个公共点，从而方程有6个实数根，故选C.√3达标检测PARTTHREE1.已知sinα－π4＝13，则cosπ4＋α等于A.223B.－223C.13D.－13√12345解析cosπ4＋α＝sinπ2－π4＋α＝sinπ4－α＝－sinα－π4＝－13.且－π2φπ2，∴φ＝－π3.2.函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)ω0，－π2φπ2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是A.2，－π3B.2，－π6C.4，－π6D.4，π312345√解析从图象可得34T＝5π12－－π3＝3π4，∴T＝π＝2πω，∴ω＝2.又∵f5π12＝2sin2×5π12＋φ＝2sin5π6＋φ＝2，所以φ的一个可能值为π4.3.函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移π8个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为A.－π4B.0C.π4D.3π4√12345解析平移后的图象对应的函数为y＝sin2x＋π8＋φ＝sin2x＋π4＋φ.因为此函数为偶函数，所以π4＋φ＝π2＋kπ(k∈Z)，4.y＝2sinxsinx＋2的最小值是12345A.2B.－2C.1D.－1√解析由y＝2sinxsinx＋2＝2－4sinx＋2，当sinx＝－1时，y＝2sinxsinx＋2取得最小值－2.5.已知函数f(x)＝2sin2x－π6＋a，a为常数.12345(1)求函数f(x)的最小正周期；解f(x)＝2sin2x－π6＋a，所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)求函数f(x)的单调递增区间；解由2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2(k∈Z)，12345得kπ－π6≤x≤kπ＋π3(k∈Z)，所以f(x)的单调递增区间为kπ－π6，kπ＋π3(k∈Z).(3)若x∈0，π2时，f(x)的最小值为－2，求a的值.12345解当x∈0，π2时，2x－π6∈－π6，5π6，所以当x＝0时，f(x)取得最小值，即2sin－π6＋a＝－2，故a＝－1.