应力波基础

第二章一维杆中的应力波-塑性波2.4.2弹塑性杆中波的传播一维长杆中施加的载荷v达到材料的屈服速度（对应于材料中波的应力大于材料的屈服强度Y）时，即或材料发生屈服而进入塑性变形状态，杆中将传播塑性波。此时，塑性波波速C是应变ε的函数，变化规律与材料的本构关系直接相关。Y00YYvvC(2-36)特征线法解弹塑性问题第二章一维杆中的应力波-塑性波特征线式相容关系式(2-33)(2-24)第二章一维杆中的应力波-塑性波引入则特征线上的相容关系可表示为其中，恒值区AOX及简单波区AOt中的弹性波部分与弹性波解相同(2-37)(2-38a)(2-38b)第二章一维杆中的应力波-塑性波由于所有负向特征线都终将与X轴相交，在零初始扰动的初值条件下，Riemann不变量R2恒为零因此在塑性简单波区处处有(2-39)第二章一维杆中的应力波-塑性波由边界条件确定沿正向特征线的Riemann不变量Rl式中，C在物理意义上代表塑性波的传播速度第二章一维杆中的应力波-塑性波第二章一维杆中的应力波-塑性波(1)线弹性材料;(2)线弹性-线性硬化材料;(3)线弹性-递减硬化材料;(4)线弹性-递增硬化材料几种常见的材料本构模型（1）线弹性材料对于特定的材料弹性波波速为常数：，特征线为相互平行的直线。（2）线弹性-线性硬化材料弹性区内，塑性区内，塑性波速为常数，且。弹性区内和塑性区内的特征线分别相互平行，但是弹性波特征线与塑性波特征线斜率不相同。0eEC10pECpeCC00EC第二章一维杆中的应力波-塑性波（3）线弹性-递减硬化材料弹性区：，塑性区：且有.弹性区内特征线分别相互平行，塑性区内波幅不同的特征线彼此不平行。a）上凸形的曲线；二阶导数；b）随着应力增加,应变增加,塑性波速减小,塑性波传播过程中，波剖面是逐渐发散和展宽的（发散波）。0eEC01dCd()220ddpeCC第二章一维杆中的应力波-塑性波（4）线弹性-递增硬化材料弹性区：，塑性区：，塑性波速不为常数。弹性区内特征线分别相互平行，塑性区内波幅不同的特征线彼此不平行。(a)下凹形的曲线;二阶导数；(b)随着应力增加,塑性波速增加；(c)塑性波传播过程中，高幅值扰动的传播速度大于低幅值扰动的传播速度，波剖面会愈来愈陡(会聚波)，最终将在波阵面上发生质点、速度和应力应变的突跃，形成冲击波。0eEC01dCd()220dd第二章一维杆中的应力波-塑性波例:半无限长杆,处于静止的自然状态,在初始t=0时刻杆端受到一撞击载荷,若杆端质点速度随时间的变化已知.问题归结为在初始条件和边条件下,求解杆中弹塑性波的传播问题.初条件边条件0()v(,0)(,0)00XvXX0(0,)(),0vtvt分析:(1)恒值区AOX与简单波区AOt中的弹性波部分与前述弹性波解完全相同;0,0v00000()()XvtvCCC恒值区AOXAOt中的弹性波第二章一维杆中的应力波-塑性波单波区有沿正向的特征线的Riemann不变量R1由边界条件确定沿正向特征线质点速度应变和应力均不变,从而不变,但对不同的正向特征线有不同的值.在塑性简单波区中正向特征线是一系列斜率不同的直线,即有000dvCdC10()2Rvvv()C()()XCt(2)对应的塑性波部分,由于负向特征线都终将与X轴相交,在零初始扰动情况下,Riemann不变量R2恒为零.在塑性简0()Yvv第二章一维杆中的应力波-塑性波(3)塑性波的波速C取决于材料的密度和材料动态应力应变曲线塑性部分的斜率，因此根据材料本构关系的应变硬化特性不同，所形成应力波的塑性波区的特征线之间的发散或会聚趋势也不同，应力波在传播过程中波剖面的变化趋势也不同。(4)根据特征线方法，可以画出一维弹塑性波的波系图（X-t图）、某一位置的图,以及杆中应力波传播的图.在平面上,塑性简单波区对应的一段曲线,当引入后，平面上塑性简单波区相对应一段直线.,,ttvt,vvvv第二章一维杆中的应力波-塑性波第二章一维杆中的应力波-塑性波2.5空间坐标描述的控制方程欧拉（Euler）法研究弹塑性波的传播考虑空间指定区域（控制体积）研究各物理量在控制体积内的变化及其通过此控制体积边界（控制表面）的流动。各物理量是欧拉变量，即空间坐标x和时间t的函数第二章一维杆中的应力波-塑性波dx欧拉空间坐标系描述的微元控制体积对于细长杆中的一维应力平面纵波问题考虑x及x+dx间的控制体积假设：杆的横截面保持为平面各物理量沿截面均匀分布m(x)v(x)m(x)𝑣2(x)m(x+dx)v(x+dx)m(x+dx)𝑣2(x+dx)p(x)p(x+dx)x化为以x和t为自变量的一维空间问题第二章一维杆中的应力波-塑性波占有空间长度dx的杆的质量为M=𝜌𝐴dx=𝜌0𝐴0𝑑𝑋式中，𝜌和A是讨论时刻的真实密度和面积，𝜌0和𝐴0是变形前的初始密度和面积，dX是占有空间长度dx的杆微元在变形前的长度。上式表示杆微元变形前后的质量守恒考虑到dx=(1+𝜀)dX引入线密度m𝑥,𝑡=ρ𝐴=𝜌0𝐴01+𝜀𝑥,𝑡(2-41)第二章一维杆中的应力波-塑性波控制体积的质量守恒即在空间微元dx中质量的增加率等于进入和离开该微元空间的质量流之差𝜕𝑚(𝑥,𝑡)𝑑𝑥𝜕𝑡=𝑚𝑥,𝑡𝑣𝑥−𝑚𝑥+dx,𝑡𝑣(𝑥+dx)dx内动量的增加率应等于进入和离开该微元的动量流之差与净外力之和𝜕m(𝑥,𝑡)v(𝑥)dx𝜕𝑡=𝑚𝑥,𝑡𝑣2𝑥−𝑚𝑥+dx,𝑡𝑣2𝑥+dx−𝑃𝑥+𝑃(𝑥+dx)其中P=𝜎𝐴0是作用在截面上的总力第二章一维杆中的应力波-塑性波简化两式得Euler变量表述的杆的连续方程和动力学方程：𝜌01+𝜀(𝑥,𝑡)𝜕𝑣(𝑥,𝑡)𝜕𝑡+𝑣(𝑥,𝑡)𝜕𝑣(𝑥,𝑡)𝜕𝑥=𝜕𝜎𝜕𝑥𝜕𝜀(𝑥,𝑡)𝜕𝑡+𝑣(𝑥,𝑡)𝜕𝜀(𝑥,𝑡)𝜕𝑥−1+𝜀(𝑥,𝑡)𝜕𝑣(𝑥,𝑡)𝜕𝑥=0𝜕𝑚𝑑𝑥𝜕𝑡=𝑚𝑥,𝑡𝑣𝑥,𝑡−𝑚𝑥+dx,𝑡𝑣(𝑥+dx,𝑡)简化过程示例：=m𝑥,𝑡𝑣𝑥,𝑡−[𝑚𝑥,𝑡+𝜕𝑚𝑥,𝑡𝜕𝑥dx][𝑣𝑥,𝑡+𝜕𝑣𝑥,𝑡𝜕𝑥dx](2-42)(2-43)第二章一维杆中的应力波-塑性波=m𝑥,𝑡𝑣𝑥,𝑡−[m𝑥,𝑡𝑣𝑥,𝑡+𝜕𝑣𝑥,𝑡𝜕𝑥𝑚𝑥,𝑡dx+𝜕𝑚𝑥,𝑡𝜕𝑥𝑣𝑥,𝑡dx+0]消去dx⟹𝜕𝑚(𝑥,𝑡)𝜕𝑡+𝜕𝑣𝑥,𝑡𝜕𝑥𝑚𝑥,𝑡+𝜕𝑚𝑥,𝑡𝜕𝑥𝑣𝑥,𝑡=0其中𝜕𝑚(𝑥,𝑡)𝜕𝑡=−𝜌0𝐴0(1+𝜀(𝑥,𝑡))2𝜕𝜀(𝑥,𝑡)𝜕𝑡𝜕𝑚(𝑥,𝑡)𝜕𝑥=−𝜌0𝐴0(1+𝜀(𝑥,𝑡))2𝜕𝜀(𝑥,𝑡)𝜕𝑥m(x,t)=𝜌0𝐴01+𝜀(𝑥,𝑡)代入得𝜕𝜀(𝑥,𝑡)𝜕𝑡+𝑣(𝑥,𝑡)𝜕𝜀(𝑥,𝑡)𝜕𝑥−1+𝜀(𝑥,𝑡)𝜕𝑣(𝑥,𝑡)𝜕𝑥=0第二章一维杆中的应力波-塑性波假定应力只是应变的函数：𝜎=𝜎(𝜀)记：1𝜌0𝑑𝜎𝑑𝜀=𝐶21+𝜀(𝑥,𝑡)𝐶2𝜕𝜀(𝑥,𝑡)𝜕𝑥−𝜕𝑣𝑥,𝑡𝜕𝑡−𝑣(𝑥,𝑡)𝜕𝑣(𝑥,𝑡)𝜕𝑥=0(2-44)则式（2-43）可改写为：第二章一维杆中的应力波-塑性波式（2-42）和式（2-44）是以v和𝜀为未知函数的一阶偏微分方程组，与Earnshow和Reimann处理过的理想可压缩流体中有限幅度平面波的传播过程相类似。因而塑性连续波也有时称为Riemann波。用特征线发来求解这一偏微分方程组时，此方程组的线性组合应能化为只包含特征线的方向导数。以待定系数L和M分别乘此两式后再相加，有L𝜕𝜀𝜕𝑡+𝐿𝑣+𝑀1+𝜀𝐶2𝜕𝜀𝜕𝑥−𝑀𝜕𝑣𝜕𝑥−𝐿1+𝜀+𝑀𝑣𝜕𝑣𝜕𝑥=0这些系数应满足：dxdt=L𝑣+𝑀(1+𝜀)𝐶2𝐿=𝑀𝑣+𝐿(1+𝜀)𝑀第二章一维杆中的应力波-塑性波从前式可得𝐿=±𝑀𝐶,由此求得空间坐标中的特征线及相应的相容条件分别为d𝑥=𝑣±1+𝜀𝐶d𝑡d𝑣=±𝐶d𝜀(2-45)(2-46)与物质坐标中的式（2-23）和式（2-24）相对应。第二章一维杆中的应力波-塑性波式（2-45）给出了Euler波速c(=dx/dt)和Lagrange波速C(=dX/dt)间的关系由于在讨论中是取变形前(t=0)的质点空间位置为物质坐标，如果波阵面在物质坐标中的传播速度为C，当考虑到物质坐标本身的变形时，则相对于波阵面前方质点的相对空间波速应是(1+𝜀)C。再考虑到质点本身也以v在运动，则波阵面在空间坐标中的绝对空间波速显然应当是𝑣±1+𝜀𝐶。以上就是式(2-11)或式(2-45)的物理意义，式中对右行波取正号，对左行波取负号。第二章一维杆中的应力波-塑性波式(2-46)与物质坐标中的式(2-24)完全相同，这是因为沿特征线的相容条件体现了连续条件、动量守恒条件和材料物性方程，与坐标系选择无关。物质坐标中的基本方程式(2-12)(2-16)和空间坐标中的基本方程式(2-42)(2-44)可以互相通过坐标变换得到。变换公式为：𝜕𝜕𝑡𝑋=𝜕𝜕𝑡𝑥+𝑣𝜕𝜕𝑥𝑡𝜕𝜕𝑋𝑡=𝜕𝑥𝜕𝑋𝜕𝜕𝑥𝑡=(1+𝜀)𝜕𝜕𝑥𝑡方程的形式在两种坐标中各异，但问题的物理实质不会由于坐标系的不同而异。