数学建模之传染病模型

第五章微分方程模型如果实际对象的某特性是随时间（或空间）变化的，那么分析它的变化规律，预测它的未来性态时，通常要建立此实际对象的动态模型，这就是微分方程模型.§1传染病模型建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮的到来等，一直是各国有关专家和官员关注的课题.考虑某地区的传染病的传染情况，设该地区人口总数为N，既不考虑生死，也不考虑迁移，时间以天为计量单位.一.SI模型假设条件：1.人群分为易感染者(Susceptible)和已感染者(Infective)两类人，简称为健康人和病人，在时刻t这两类人在总人数中所占比例分别记作ts和ti.2.每个病人每天有效接触的平均人数是(常数)，称为日接触率，当病人与健康人有效接触时，使健康者受感染变为病人.试建立描述ti变化的数学模型.解：1titsNNtiNts由假设2知，每个病人每天可使ts个健康者变为病人，又由于病人数为tiN，每天共有tiNts个健康人被感染.于是isN就是病人数iN的增加率，即有isNdtdiN………………………………………………(1)isdtdi而1is.又记初始时刻(0t)病人的比例为0i，则001iiiidtdi这就是Logistic模型，其解为teiti11110［结果分析］作出tti~和idtdi~的图形如下：1.当21i时，dtdi取到最大值mdtdi，此时刻为11ln01itm2.当t时，1i即所有人终将被传染，全变为病人（这是不实际的）.二.SIS模型在前面假设1、2之下，再考虑病人可以医治，并且有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人，此模型称SIS模型.假设1、2同SI模型，增加假设:i0mtt2121i0dtdimdtdi3.病人每天被治愈的人数占病人总数的比例为，称为日治愈率.病人治愈后成为易感染者（健康人）.显然1是这种传染病的平均传染期.解：在假设1、2、3之下，模型（1）修正为iNiNsdtdiN于是001iiiiidtdi解得　＝　　　　　　　　　　　　－,1,11010iteitit［结果分析］1.令.注意到和1的含义，可知是一个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数.　011i112.接触数1是一个阈值.0t1110ii0i0t1i11当1时，病人比例ti越来越小，最终趋于零.当1时，ti的增减性取决于0i的大小，其极限值11i.3.SI模型是SIS模型中0的情形.三.SIR模型大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以病愈的人既非健康者,也非病人,他们已经退出传染系统，此时模型的假设为1.人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者三类，称为SIR模型.三类人在总人数N中占的比例分别记作is、ti和tr.1.病人的日接解率为，日治愈率为（与SIS模型相同），传染期接触数为＝.解：由假设1，有1trtits0dtdrdtdidtds由假设2，得iNdtdrNNiNisdtdiNiisdtdiidtdr又设00,0,000riiss于是00s0s,0iiisdtdsiisdtdi……………………………………………(2)我们在相平面上来讨论解的性质.相轨线的定义域为1s,0,0s,siiiD由(2)式消去dt，得0ss01s1siiddi这里解得000ssln1s-isi………………………………………(3)在定义域D内，(3)式表示的曲线即为相轨线.