数据结构习题课7

数据结构习题第7章吉林大学计算机科学与技术学院谷方明第7章作业247页：每组的第1题是必交的，即7-2、7-5、7-18、7-24、7-497-2、7-3、7-5、7-8、7-10、7-18、7-24、7-26、7-30、7-31、7-35、7-367-49、7-507-2若对序列（7，3，1，8，6，2，4，5）按从小到大排序，请写出冒泡排序的第一趟结果。参考答案3，1，7，6，2，4，5，87-3设文件（R1，R2，…，Rn）以单链表方式表示，指针变量FIRST指向表头结点，且表中的结点结构为：其中KEY为该结点的关键词域，LINK为链接域。请给出这种线性表的直接插入排序算法，并要求算法的时间复杂度为O(n2)，且算法是稳定的。KEYLINK算法InsertSort(FIRST.FIRST)/*对单链表直接插入排序,FIRST指向表头结点*/IS1[边界]IF(LINK(FIRST)=NULLORLINK(LINK(FIRST))=NULL)THENRETRUN.IS2[插入排序]q←LINK(FIRST).q0←LINK(q).WHILE(qNULL)(p←LINK(FIRST).p0←FIRST.WHILE(KEY(p)=KEY(q)ANDLINK(p)q)DO(p0←p.p←LINK(p).).IF(KEY(p)KEY(q))THEN(LINK(q0)←LINK(q).LINK(p0)←q.LINK(q)←p.q←LINK(q0).).ESLE(q0←q.q←LINK(q0).).)▌7-5设计一算法，在尽可能少的时间内重排数组，使所有取负值的关键词放在所有取非负值的关键词之前，并分析算法的时间复杂度。基本思想：以0为基准记录，使用快速排序的一次分划过程即可，时间复杂度为O(n).算法Part(A,n.A)/*以0为基准元素一次分划*/P1[初始化]i←1.j←n.P2[以0分划]WHILEijDO(WHILEKi0ANDijDOi←i+1.WHILEKj0ANDijDOj←j–1.IFi＜jTHENRiRj．)▌7-8讨论冒泡排序算法的稳定性。参考答案冒泡排序中，每一趟冒泡，相邻的关键词只有满足(RjRj+1)时才会发生交换，关键词相同的记录不会发生交换，即相同位置不变，因此是冒泡排序算法是稳定的。7-10类似于冒泡过程（从下到上），与之对应的是下沉过程（从上到下）。如果排序是冒泡和下沉的交替过程，证明如果经过一趟冒泡和一次下沉后发现Rj和Rj+1（1jn1）没有交换，则它们已经进入最终排序位置。参考答案证明：如果经过一趟冒泡和一次下沉后发现Rj和Rj+1（1jn1）没有交换，那么有R1=R2=R3=…=Rn即所有记录已经进入最终排序位置。7-18奇偶交换排序算法的基本思想描述如下：排序过程通过对文件x[i](l≤i≤n)的若干次扫描来完成，第奇数次扫描，对所有下标为奇数的记录x[i]与其后面的记录x[i+1](l≤i≤n–1)相比较，若x[i].KEY＞x[i+1].KEY，则交换x[i]和x[i+1]的内容；第偶数次扫描，对所有下标为偶数的记录x[i]与其后面的记录x[i+1](2≤i≤n–1)相比较，若x[i].KEY＞x[i+1].KEY，则交换x[i]和x[i+1]之内容，重复上述过程直到排序完成为止.(1)排序的终止条件是什么？(2)完成该算法的具体设计.(3)分析该算法的平均运行时间.算法Sort(X,n)S1[一趟扫描过程中，均没有记录交换则算法终止]change←1.while(change)(change←0.fori←1ton-1step2//奇交换if(X[i].keyX[i+1].key)(X[i]X[i+1].change←1.)fori←2ton-1step2//偶交换if(X[i].keyX[i+1].key)(X[i]X[i+1].change←1.)))▌(1)最好情况下，比较一趟．每趟中奇交换偶交换比较次数共(n-1)次，无记录交换．//正序(2)最坏情况下比较(n/2)+1趟，总比较次数为(n-1)*(n/2+1）次．每次比较都交换，总交换次数为(n-1)*n/2或(n-1)*3n/2．//逆序(3)最好时间O(n)最坏时间O(n2)平均时间O(n2)(书上P201反序对的平均数)正确性证明：数学归纳法对元素个数n进行归纳当n=1是，算法正确假设当n=k时，算法能对n个元素的数组进行排序，则当n=k+1时，进行一趟分划后,轴心元素R[s]进入了最终排序应在的位置R[i]，即R[i]之前的元素R[s]~R[i-1]都小于等于R[i]，R[i]之后的元素R[i+1]~R[e]都大于等于R[i]。由于R[s]~R[i-1],R[i+1]~R[e]任意一部分最多为k个，按照假设，都能正确排序。因此，该算法能对全部k+1个元素正确排序。7-24填充如下排序算法中的方框，并证明该算法的正确性.(实质是一趟快速排序算法)算法PartA(R,s,e)//分划文件(Rs,Rs+1,…,Re),且Ks-1=-∞,Ke+1=+∞PA1[初始化]i←s.j←①.K←Ks.R←Rs.e+1PA2[分划过程]whileijdo(j←j-1.while②doj←j-1.if(i≥j)thenj←i.else(Ri←Rj.i=i+1.whileKiKdoi←i+1.if③thenRj←Ri.)).PA3④▌Kj≥KijRj←R7-26分析算法HSort中的堆栈S可能包含的最大元素个数（表示成M和n的函数）。参考答案当n/2=M，才会在辅助堆栈中压入第1个元素当n/(22)=M，才会在辅助堆栈中压入第2个元素……，依此类推，当n/(2k)=M，才会在辅助堆栈中压入第k个元素则2k=n/M.k=log2(n/M)因此最多为floor(log2(n/M))个7-30证明：用淘汰赛找n个元素的最大元素正好需要n–1次元素比较。参考答案证明：在淘汰赛中，每进行一场比赛，即进行依次比较，都恰淘汰1个元素，找到最大元素需要淘汰n-1个元素，因此需要n-1比较。7-31证明：用淘汰赛找n个元素的最大元素所形成的树高为log2n.参考答案证明：当n=2K时，第1轮后剩下n/2=2K-1，第二轮后剩下n/4=2K-2,依次类推,第k轮淘汰赛后就剩下1个选手，就是最大元素。每一轮淘汰赛都对应比赛树中的一层，因此当n=2K时，比赛树的最大层数是k，比赛树的高度是log2n当n为任意数时，总可以找到一个k，使得2K-1n=2k，只需要k轮淘汰赛就可以最大元素，对应的比赛树高为k。由2K-1n=2k，得log2n=klog2n+1，即形成的树高为log2n.7-35设文件(R1，R2，…，Rn)是一个堆，Rn+1是任意一个结点。请设计一个算法，该算法把Rn+1添加到堆(R1，R2，…，Rn)中，并使(R1，R2，…，Rn，Rn+1)成为一个堆（要求算法的时间复杂度为O(log2n)）.分析：堆有大根堆和小根堆。教材上用的是大根堆。参考答案算法Insert(R,n,x.R,n)/*在堆中插入元素x，从下往上调整堆*/U1[x放入R[n+1]]n←n+1.R[n]←x.U2[从下往上调整，称上浮]i←n.WHILE(i1ANDR[i/2]R[i])DOi←i/2.▌C++inth[MAXN];intn=0;voidinsert(x){h[++n]=x;for(intj=n;j1;j=1)//上浮if(a[j]a[j1])swap(a[j],a[j1]);}7-36文件(R1，R2，…，Rn)是一个堆，1≤i≤n，请给出一个算法，该算法从(R1，R2，…，Rn)中删除Ri，并使删除后的文件仍然是堆，要求算法的时间复杂度为O(log2n).参考答案算法Delete(R,n,i.R,n)/*在堆中删除元素R[i]，从上往下调整堆*/D1[R[i]与R[n]交换]R[i]←R[n].n←n-1.D2[从上往下调整，称下沉]j←i.WHILE(2*j=nANDR[2*j]R[j]OR2*j+1=nANDR[2*j+1]R[j])DO(y←2*j.IF(2*j+1=nANDR[2*j+1]R[2*j])THENy←y+1.R[j]↔R[y].j←y.)▌C++inth[MAXN];intn=0;voiddelete(inti){h[i]=h[n--];while(2*i=n&&h[2*i]h[i]||2*i+1=n&&h[2*i+1]h[i])inty=2*i;if(y+1=n&&h[y+1]h[y])y++;swap(h[i],h[y]);i=y;}}7-49填充如下排序算法中的方框，并讨论该算法的稳定性.算法C(R，n)/*比较计数，本算法按关键词K1，K2，…，Kn排序记录R1，R2，…，Rn.一维数组COUNT[1:n]用来记录各个记录的排序位置*/［C1］FORi=1TOnDO①.［C2］FORi=nTO2②DOFORj=i–1TO1STEP–1DOIF③THENCOUNT[j]←COUNT[j]+1ELSE④▌STEP–1KjKicount[i]←count[i]+1count[i]←1稳定性讨论该算法是稳定的7-50有一种简单的排序算法，叫做计数排序(CountSorting).这种排序算法对一个待排序的表(用数组表示)进行排序，并将排序结果存放到另一个新的表中。必须注意的是，表中所有待排序的关键词互不相同，计数排序算法针对表中的每个记录，扫描待排序的表一趟，统计表中有多少个记录的关键词比该记录的关键词小，假设针对某一个记录，统计出的计数值为c，那么，这个记录在新的有序表中的合适的存放位置即为c.(1)给出适用于计数排序的数据表定义。(2)对于有n个记录的表，关键词比较次数是多少？(3)与简单选择排序相比较，这种方法是否更好？为什么？参考答案(1)数据表放在数组R中，元素个数为n，下标从0开始（因为小于关键词的个数为c,就放在c的位置）。(2)对于每个记录，扫描待排序的表一趟，即比较n次。一共n个记录，共需比较n2次。(3)与简单选择排序相比，比较次数增加，移动次数减少。整体上时间效率要低于简单选择排序，辅助空间要高于简单选择排序。