第4讲市场风险VaR

风险的度量-在险价值VaR内容提要•VaR的定义•计算VaR•回顾测试•投资组合的VaR•VaR用于投资组合风险管理VaR的定义•VaR的含义是处于风险中的价值，“VaR(VauleatRiks)是指在市场的正常波动下，在给定的置信水平下，某一金融资产或者证券投资组合在未来的特定的一段时间内的最大的可能的损失。•更正式的讲，VaR是描述一定目标时段下资产(或资产组合)的损益分布的分位点。•例如：某个敞口在99%的置信水平下的日VaR值为1000万美元。损失和收益的关系可以由图表示，其中右侧的实线表示损失，左侧的实线表示收益。•VaR有两个定义▫绝对VAR，给定置信水平（99%）下的最大损失，也称VaR（零值）▫VAR（均值）第二种VaR定义方式与经济资本分配和风险调整后资本收益率（RAROC）计算一致。注：•大多数VaR都是短期风险，如1天、10天（监管者要求）•巴塞尔协议规定p=99%•对于内部资产，p=99.96%VaR与ES的定义•VaR▫VaR的性质单调性：如果L1≤L2在任何情况下都成立，则VaRτ(L1)≤VaRτ(L2)正齐次性：对于任意正数h，有VaRτ(hl)≤hVaRτ(L)平移不变性：对于任意一个固定的常数α，有VaRτ(L)≤VaRτ(L)+α不满足次可加性VaR不满足次可加性的例子VaR与ES的定义•ES（TVaR，CVaR，CED）▫ES的定义对于金融资产损失函数L，在VaR的基础上，可以给出置信水平100(1-τ)%的ES定义如下ES1-τ(L)=E[Lt|LtVaR1-τ(L)]•ES的性质ES不但满足单调性、正齐次性、平移不变性，而且还满足次可加性，是一致性风险测度。计算VaR的步骤•逐日盯市确认投资组合的市值•衡量风险因素的变化率，如波动率15%•设定时间区域，样本观察时间段，如10天•设定置信水平，如99%，•假设分布，如正态分布•分析前面信息数据，得出收入的分布概率，计算潜在的最大损失，综合得出VaR，如在99%的置信水平的VaR为700美元影响VaR计算的几个主要因素上尾部概率τ持有期Δt损失的累积分布函数金融头寸的资产价值需要注意的是，空头头寸与多头头寸在实际分析过程中有明显不同。几种常见的计算方法1.非参数法：使用历史数据，计算经验分布和经验分位数。历史模拟法2.参数法：假定收益率服从某种分布，估计参数，计算分布的分位数。正态分布T分布极值分布历史模拟法（HistoricalSimulationApproach）•首先选择风险因子的历史数据，例如500个交易日数据。•其次，用历史数据计算资产组合的价值和价值的变化.•最后，构建直方图，找到1%的分位点，即第5个最坏的损失。计算VAR。历史模拟法计算例子•考虑一个美国投资者，在2008年9月25日持有价值1000万的投资组合（如图），组合中有4个股票指数，指数价格以美元计算，下面显示了4个指数的收盘价格的历史数据（可下载）•10天VaR历史模拟法的推广•1、对观察值设定权重▫使权重随时间回望期的延伸而按指数速度递减▫将所有观测值由最坏到最好进行排序▫由损失最坏的情形开始，累积计算每一项权重的和，直到达到某指定分位数界限时为止。▫可以通过回顾检验中，测试不同的l，来选取最佳参数l•2、更新波动率▫利用第i天波动率与当前波动率的不同，使用一种更新波动率的模式，并基于在第i天观测到的百分比变化来调整市场变量。例如,假定是的两倍。▫市场变量在第i个情形会变成1111/)(iiniiinvvvvv1/n1ni•3、自助法假定有500个数据1.由观测样本x=(x1，…，xn)构造经验分布函数Fn;2.从Fn中抽取简单样本X*=（X1，…，Xm），m=n,3.重复步骤（2）N次，由Bootstrap子样得到样本p分位数，xp，i，i=1，…，N。4.计算统计量:▫由中心极限定理，可以得到xp近似服从正态分布，由此可以得到分位点的点估计和区间估计。参数法1、正态分布：Z=(R–μ)/sdenotesastandardnormalvariable,N(0,1),不同置信水平对应的临界值如何选择c和时间段Dt•公司范围内不同市场风险的比较，99%，1天•潜在损失的衡量•满足资本充足率•回溯标准1日VaR和10日VaR假设市场是有效的，每日收益Rt是独立同分布的，服从正态分布N(m,2)，则10日收益率也是服从正态分布，均值10m，方差是102均值方差法计算股票组合的VaR•假设持有两种股票，价格分别为S1（持有数量n1）、S2（持有数量n2），则股票组合的价值为（1）风险因子选择股票价格，Rv=资产组合收益率Ri=第i种股票的收益率，i=DSi/Siwi=资产组合中投资于第i种股票的比重,i,=1,2,withSwi=1（2）计算风险因子Rv的分布：假设价格服从对数正态分布，日收益率服从正态分布。假设股票收益率Ri服从正态分布，mi和i，相关系数为r。（3）计算股票i的1日和10日VAR（4）计算资产组合1日和10日的VaR•通过对这两支股票一年的历史数据，可以估计收益率的均值和方差分别为•代入数据whereVaR1,VaR2,andVaRVdenotetheone-dayvalueatriskatthe99percentconfidencelevelfor注意，资产组合的VaR小于两个资产的VaR的和，这反映了由于权益资产不完全相关而引起的资产组合效应。均值方差法计算其他金融产品的VaR假设持有风险资产，价值为V，将V表述为n个风险因子fi的函数，i=1,...,n.，则一阶泰勒展开近似为Didenotesthedelta”假设风险因子都服从正态分布，则均值方差分析的优缺点•优点：▫计算方便▫根据中心极限定理，风险因子不一定需要满足正态性▫不需要定价模型，只需敏感因子•缺点▫收益正态性假设▫不满足胖尾性▫需要估计波动率和相关系数▫无法进行敏感性分析▫无法计算置信区间均值方差的推广•利用指数加权移动平均值（EWMA）模型计算方差-协方差•回归条件异方差（GARCH）模型计算时变方差•使用其它分布，随机模拟产生DP的分布2、t分布大多数收益率是“胖尾”的。可使用t分布来描述，用三个指标•均值m、方差2和自由度v•V描述了胖尾形，v越小，尾部越胖；v越大，t分布越趋于正态分布。对于金融时间序列，v的取值常在4和8之间。极值理论•极值理论可以描述一个变量x的经验概率分布的右尾部状态.(如果要描述左尾部状态，我们可以使用变量–x.）•我们先选择右端尾部的一个数值u•我们可以使用Gnedenko的结论：随着分布u的增加，趋向于广义帕累托（Pareto）分布。43)(1)()()(uFuFyuFyFu)(yFu广义Pareto分布44•广义Pareto分布有两个参数x(有关分布的形状)和b(分布的规模因子)•广义Pareto分布的累计分布函数为xbx/111y参数的最大似然估计xbxbuniiuv11/1)(11ln45•我们将所有大于u的观察值xi,按从大到小进行排序。假设有nu个观测值比u大。•我们采用使得•最大的x和b作为最大似然法估计的参数运用极值理论估计VaR•对应于置信水平为q的VaR，我们对F(VaR)=q求解•因此1/11unVaRuqnxxbˆˆ[(/)(1)]1ˆuVaRunnqxbx极值理论的例子令u=200，nu=13。采用Excel计算中的Solve程序，可求得使似然函数达到最大值的参数值为在99%的置信水平下的VaR值为有关u的选择•经验法则：保证u近似等于实证分布中的95%的分位数。蒙特卡罗模拟•采用蒙特卡罗模拟法，计算交易组合一天展望期的VaR：▫利用当前的市场变量对交易组合进行定价▫从Dxi服从的多元正态分布中进行一次抽样▫由Dxi的抽样计算出在交易日末的市场变量▫利用新产生的市场变量来对交易组合重新定价▫计算ΔP▫重复2-5步的计算，得出ΔP的概率分布计算股票组合的VaR•首先，选择所有风险因子，设定其动态模型（可能需要估计均值、方差和相关系数等变量），例如股票价格服从如下随机过程•其次，构造价格路径，例如上述随机微分方程的解为withWtdenotingthecumulativeinnovationsfrom0tot.将上述过程离散化，利用均匀分布随机数，可以得出构造价格路径所需要的随机数据。Dt=timeintervalbetweentandt–1Z=standardnormalvariableN(0,1)suchthat•当有多个风险资产服从式（27）的几何布朗运动随机过程，相关系数为rij，均值为mi，方差为i，可将多变量方程写为X=(X1,...,Xn)是多元正态随机向量，均值等于0，方差矩阵为S，Sij=E(XXT)=rij,•产生随机向量X=(X1,...,Xn)的方法▫先产生n个正态随机变量随机数▫计算矩阵A，使得S=AAT，例如▫产生随机向量•最后，计算资产组合的价格和VAR模拟10000次的价格路径，得到资产组合的价格经验分布，计算1%的分位数。MonteCarloApproach优缺点•优点：▫可以考虑其他分布，如允许胖尾，跳跃等特殊现象存在▫可以将任何复杂的资产组合纳入模型▫可计算置信区间▫敏感性分析和压力测试•缺点▫某些意外情况未被纳入分布中。▫计算机能力限制8.59回顾测试（Back-Testing）•回顾测试的过程是统计例外的天数，也就是实际损失超出VaR的情形.•损失可以是实际损失或者理论损失.•如果发生例外的概率是p(=1–X),则在n天内发生m次例外的可能性为nmkknkppknkn.)1()!(!!X▫Kupiec构建了一种基于首次出现损失超过VAR的时间的检验。设表示首次出现损失超过VAR所需要的天数，服从几何分布，零假设p=1-c,似然比检验为X如果LR3.84,拒绝原假设。在JP摩根的例子中，T=252，N=20，p=0.95%，LR=3.91X巴塞尔规则记录上一个年度的每日超过VaR特例事件•在黄灯区，监管者根据出现特例事件的原因决定是否加以处罚。▫模型的构成严谨。偏差的发生是因为头寸报告不准确，或者程序码错误。▫模型的准确度科研提高。偏差发生是因为模型不能准确地衡量风险（到期观察值不足）▫同日交易。头寸在当天发生变化▫运气不好。市场波动非常大或者相关性变化•回溯问题的要点在将运气不好和错误模型分开。下面的表给出了正确模型后验测试注意事项•样本观察世界应该尽量短，以增大观察事件的数量，减少投资组合构成的变化影响•置信水平不要选太高，因为这样会降低统计测试的有效性或力度。•后验测试需要平衡两种类型误差的选择，拒绝正确模型和接受错误的模型。我国商业银行关于返回测试的•（一）商业银行应比较每日的损益数据与内部模型产生的风险价值数据，进行返回检验，依据最近一年内突破次数确定市场风险资本计算的附加因子，并按季度将返回检验结果及附加因子调整情况报告银监会。•银监会对商业银行返回检验结果和附加因子调整情况进行监督。•（二）符合以下情况的，商业银行可向银监会申请不根据实际突破次数调整附加因子：•1．商业银行如能合理说明其使用的模型基本稳健，以及突破事件只属暂时性质，则银监会可以决定不将该突破事件计入突破次数。•2．当金融市场发生实质性的制度转变时，市场数据的波动与相关系数的重大变化可能引发短时间内的大量突破事件。在这种情况下，银监会可要求商业银行尽快把制度转变的因素纳入其内部模型，这一过程中可暂不调高附加因子。•（三）内部模型的返回检验应至少满足以下要求：•1．商业银行应每日计算基于T-1日头寸的风险价值与T日的损益数据并进行比较，如损失超过风险价值则称为发生一次突破。•2．上述风险价值的持有期为1天，置信区间、计算方法以及使用的历史数据期限等参数应与使用内部模型法计提市场风险资本要求时所用参数保