矩阵范数-(1)

12.2矩阵范数1.矩阵范数的概念2.相容范数3.从属范数21.矩阵范数的概念设A∈Cm×n，定义一个实值函数||A||，若满足：(1)非负性：||A||≥0，且||A||=0当且仅当A=0；(2)齐次性：||aA||=|a|||A||，a∈C；(3)三角不等式：||A+B||≤||A||+||B||，A,B∈Cm×n;则称||A||为A的矩阵范数。(4)相容性：||AB||≤||A||||B||，例1设A=(aij)∈Cn×n，则都是矩阵范数。1,,1||,max||,nijijmmijijAaAna3对于Cm×n上的矩阵范数||A||M和Cm与Cn上的同类向量范数||x||v，如果满足则称矩阵范数||A||M和向量范数||x||v是相容的。,,,mnnvMvAxAxACxC2.相容范数例2设A=(aij)∈Cm×n，则是矩阵范数，且与向量的2-范数相容。12122*11||tr()mnijFijAaAA该范数称为Frobenius范数，或简称为F-范数。4例3设||A||M是Cn×n上矩阵范数，任取Cn中的一个非零向量y，则函数是Cn上的向量范数。且矩阵范数||A||M和向量范数||x||v相容。T,nvMxxyxC5定理1：已知Cm与Cn上的同类向量范数||x||v，设A∈Cm×n，则按如下方式定义的的函数是矩阵范数，并且与已知的向量范数||x||v相容。||||10maxmaxvvMvxxvAxAAxx3.从属范数定理1中给出的矩阵范数称为由向量范数诱导出的矩阵范数，简称为从属范数。对于任意从属范数，||I||=1，但对于一般的矩阵范数，只有||I||≥1。6定理2：由向量的1-范数、2-范数和∞-范数分别诱导出的矩阵范数分别是11*21(1)max||;(2)max;(3)max||.mijjijjnijijAaAAAAa通常依次称为列和范数、谱范数和行和范数。定理3：谱范数和F-范数都是酉不变范数，即对于任意酉矩阵P和Q，有||PAQ||=||A||。