四边形中常用的辅助线

专题提升9四边形中常用的辅助线四边形中添辅助线的目的一般都是造就线段平行或垂直，构造全等三角形、直角三角形、平行四边形等，把难以解决的问题转化成常见的三角形、平行四边形等问题处理，其常用方法有以下几种：(1)连结对角线或平移对角线．(2)把图形中的一部分旋转，构造全等三角形．(3)涉及面积问题的，常构造直角三角形．(4)已有一组平行线或对角线互相平分的，常构造平行四边形．(5)涉及线段中点或平行四边形对角线交点的，常构造三角形的中位线．(第1题)1．如图，在四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点．E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从点C向点D移动而点R不动时，下列结论成立的是(C)A.线段EF的长逐渐增大B.线段EF的长逐渐减少C.线段EF的长不变D.线段EF的长与点P的位置有关【解】连结AR.∵AR的长度不变，根据中位线定理可知，EF＝12AR，∴当点P在CD上从点C向点D移动而点R不动时，线段EF的长不变．(第2题)2．如图，四边形ABCD放在一组距离相等的平行线中，已知BD＝6cm，四边形ABCD的面积为24cm2，则两条平行线间的距离为(A)A.2cmB.3cmC.4cmD.1cm【解】过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥BD于点F，则S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝12AE·BD＋12CF·BD＝12BD(AE＋CF)．∵BD＝6cm，四边形ABCD的面积为24cm2，∴AE＋CF＝8cm，∴两条平行线间的距离为2cm.3．(淄博中考)如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PG，PC.若∠ABC＝∠BEF＝60°，则PGPC等于(B),(第3题))A.2B.3C.22D.33【解】延长GP交DC于点H.∵四边形ABCD和四边形BEFG都是菱形，∴BC＝DC，BG＝FG.∵P是线段DF的中点，∴FP＝DP.由题意可知DC∥FG，∴∠GFP＝∠HDP.又∵∠GPF＝∠HPD，∴△GFP≌△HDP(ASA)，∴GP＝HP，FG＝DH，∴BG＝DH，∴BC－BG＝DC－DH，即CG＝CH，∴△HCP≌△GCP(SSS)，∴∠GCP＝∠HCP＝12∠BCD，∠HPC＝∠GPC＝90°.∵DC∥AB，∠ABC＝60°，∴∠BCD＝120°，∴∠GCP＝60°，∴易得PGPC＝3.4．已知P是正方形ABCD内一点，PB＝2，PC＝1，∠BPC＝135°，则AP的长为5．(第4题解)【解】如解图，把△ABP绕点B顺时针旋转90°，到达△CBQ的位置，连结PQ.由旋转的性质，得PB＝BQ，∠PBQ＝90°，AP＝CQ，∴△BPQ是等腰直角三角形，∴PQ＝PB2＋BQ2＝（2）2＋（2）2＝2，∠BPQ＝45°，∴∠CPQ＝135°－45°＝90°，∴△PCQ是直角三角形，∴AP＝CQ＝PC2＋PQ2＝12＋22＝5.(第5题)5．如图，已知正方形ABCD的边长为1，连结AC，BD相交于点O，CE平分∠ACD，交BD于点E，则DE的长为2－1．【解】过点E作EF⊥DC于点F.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ODC＝45°，AC⊥BD.∵CE平分∠ACD，EF⊥DC，∴CO＝CF，∠DEF＝45°＝∠ODC，∴EF＝DF.∵正方形ABCD的边长为1，∴AC＝2，∴CO＝12AC＝22，∴CF＝CO＝22，∴EF＝DF＝DC－CF＝1－22，∴DE＝EF2＋DF2＝2－1.(第6题)6．如图，P为▱ABCD内一点，△PAB，△PCD的面积分别记为S1，S2，▱ABCD的面积记为S，试探究S1＋S2与S之间的关系．(第6题解)【解】如解图，过点P作EF∥AB，交AD于点E，交BC于点F.∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴四边形ABFE，四边形EFCD都是平行四边形，∴S1＝12S▱ABFE，S2＝12S▱EFCD.∵S▱ABFE＋S▱EFCD＝S，∴S1＋S2＝12S.(第7题)7．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A∶∠C＝1∶2，AB＝2，CD＝1.求：(1)∠A，∠C的度数．(2)AD，BC的长度．(3)四边形ABCD的面积．【解】(1)∵∠A＋∠C＝360°－∠B－∠D＝360°－90°－90°＝180°，∠A∶∠C＝1∶2，∴∠A＝60°，∠C＝120°.(2)分别延长BC，AD相交于点E.在Rt△ABE中，∵∠A＝60°，∴∠E＝30°，∴AE＝2AB＝4，∴BE＝23.在Rt△EDC中，易得EC＝2CD＝2，ED＝3，∴AD＝AE－ED＝4－3，BC＝BE－EC＝23－2.(3)S四边形ABCD＝S△ABE－S△EDC＝12×23×2－12×3×1＝323.(第8题)8．如图，在四边形ABCD中，BE＝DF，AC和EF互相平分于点O，∠B＝90°.求证：四边形ABCD是矩形．【解】连结AF，CE.∵AC和EF互相平分，∴四边形AECF是平行四边形，∴AE＝CF，AE∥CF.又∵BE＝DF，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形．又∵∠B＝90°，∴▱ABCD是矩形．(第9题)9．在数学活动课上，小明提出了这样一个问题：如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠DEC＝35°，求∠EAB的度数．【解】如解图，过点E作AD的垂线，垂足为F.(第9题解)∵∠C＝∠DFE＝90°，DE平分∠ADC，DE＝DE，∴△DCE≌△DFE(AAS)．∴∠DEC＝∠DEF，EC＝EF.又∵EC＝EB，∴EF＝EB.∵∠EFA＝∠B＝90°，AE＝AE，∴Rt△AFE≌Rt△ABE(HL)，∴∠FEA＝∠BEA.又∵∠DEC＋∠DEF＋∠FEA＋∠BEA＝180°，∴∠DEC＋∠BEA＝90°.又∵∠EAB＋∠BEA＝90°，∴∠EAB＝∠DEC＝35°.10．如图①，在正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上的一点，MN⊥DM且交∠CBE的平分线于点N.,(第10题))(1)求证：MD＝MN.(2)若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上的任意一点”，其余条件不变(如图②)，则结论“MD＝MN”还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．【解】(1)如解图①，取AD的中点F，连结FM.∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠A＝∠ABC＝90°.又∵M，F分别是AB，AD的中点，∴AM＝MB＝12AB＝12AD＝DF＝AF.又∵∠A＝90°，∴∠AFM＝45°，∴∠DFM＝135°.∵BN平分∠CBE，∴∠MBN＝90°＋45°＝135°，∴∠DFM＝∠MBN.∵MN⊥DM，∴∠NMB＋∠DMA＝90°.又∵∠FDM＋∠DMA＝90°，∴∠FDM＝∠NMB，∴△DFM≌△MBN(ASA)，∴MD＝MN.(第10题解)(2)成立．证明如下：如解图②，在AD上取一点F，使得AF＝AM.同理于(1)的证明过程，可得∠FDM＝∠BMN，∠DFM＝∠MBN＝135°.∵AD＝AB，AF＝AM，∴DF＝MB，∴△DFM≌△MBN(ASA)，∴MD＝MN.