外接球问题四种模型

外接球四种模型主讲：付老师模型1长方体外接球问题已知长方体的长宽高分别为a、b、c，则长方体外接球直径的平方等于长宽高的平方和。2222)2(Rcba一般题目不会直接告诉你是长方体的外接球类型，必须自己去类比分析，只要出现两两垂直的三条棱都可以用。例1.在棱锥P-ABC中，侧棱PA、PB、PC两两垂直，Q为底面∆ABC内一点，若点Q到三条侧棱的距离分别为2、2、，则以线段PQ为直径的球的表面积为.到三条侧棱的距离恰好是以PQ为对角线的长方体三个相邻面上的三条对角线，则可得22222222222)22(22cbcaba此题可改为Q到三个侧面的距离。做题时多利用长方体，可简化问题。8222cba829例2四面体ABCD中，已知AB=CD=，AC=BD=，AD=BC=。则四面体ABCD的外接球的表面积为3437在长方体中恰好存在相对棱相等的四面体，三条棱恰好可作为长方体的三条对角线222222222)37()34()29(cbcaba50222cba50正四面体就可以放入正方体之中，利用类似方法可以很快求出正四面体外接球半径模型2三点共线型当棱锥顶点，外接球球心，底面小圆圆心，三点共线时如图，根据勾股定理可得222)(RrRh此模型注意一定是三点共线才能用。所有正棱锥都是三点共线。只要题目中有提到棱锥的每条侧棱都相等，或者顶点在底面投影是底面的中心之类，都属于三点共线。还有那种底面固定，体积最大问题有些也是三点共线，在利用公式的时候，棱锥的高比半径大或者小都可以用。每条侧棱都相等的棱柱，每条侧棱可以看做同一个圆锥的母线，所以棱锥顶点,球心，底面小圆圆心三点共线。底面圆半径可以用正玄定理RAa2sin2260sin32rr222)(RrRh棱锥的高可以用勾股定理侧棱记做，此处将底面小圆半径记做l222rlhr42)52(222hh254252)4(2222RRRR例42222hr22R代入公式可得3231Vsh模型3一条棱垂直于底面一条棱垂直于底面时，如图可构造矩形，利用勾股定理。棱锥垂直于底面的棱记为，棱锥底面外接圆半径记做，rl222)2(Rrl当底面三角形是直角三角形时也可以用构造长方体的方法。此题可用第一种模型构造长方体，两两垂直的棱刚好是长方体的三条棱。也可以用第三种模型。构造长方体：554)3(113,1,12222SRcba利用第三种模型：545)22()23(22,3222SRrl模型4两个面垂直如图，侧面PAC⊥底面ABC。侧面圆心，球心，底面圆心，公共棱中点恰好构成矩形，利用勾股定理可得外接球半径。222221)2(Rlrr这种类型不是很常见，常以折叠成直二面角形式出现第四种模型关键是算对两个面的半径。三角形AMN可以用正玄定理，底面是等腰梯形，而且对角线垂直于腰。322,,2260sin,32211BCrBMCMNCBNrrMNMNl222221)2(Rlrr5213)232()32(2222S