2012高考数学压轴题——定义新概念题之闭函数

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题目整理函数,D为定义域),若同时满足下列条件:①f(x)在D内单调递增或递减;②存在区间[a,b],那么函数叫做闭函数。(1)求函数符合条件②的区间[a,b];(2)判断函数是否为闭函数,并说明理由。分析(1)易知为[a,b]上的减函数故(a=b=0,不合题意)得得区间[�1,1]。(2)取,,则故f(x)不是(0,+)上的减函数取,,则故f(x)不是(0,+)上的增函数因此,f(x)不是闭函数例2对于函数),存在满足,则称为函数的不动点。若函数有唯一不动点,且,,,求的值。分析依题意有得解得或,令,得所以所以所以所以为等差数列,且,所以,所以。设y=loga[(x-3)/(x+3)]的定义域为[s,t),值域为(loga(at-a),loga(as-a)](1)求证s3(2)求a的取值范围(1)把x=s带入y=loga[(s-3)/(s+3)],∵(s-3)/(s+3)>0,∴s3ors-3,根据值域和定义域可知函数为减函数,(0,∞),∴0a1,,∴loga[(s-3)/(s+3)]=loga(as-a),则(s-3)/(s+3)=as-a,拆开整理得,as²+(2a-1)s+3-3a=0,s1+s2=1-2a/a0,s1*s2=3-3a/a0,∴方程as²+(2a-1)s+3-3a=0两根为正数,s3(2).其实若要方程as²+(2a-1)s+3-3a=0有根上式才成立,且这两根一个是s,另一个是t,∴所以(2a-1)²-4a(3-3a)0,∴0a(2-根号3)/4和(2+根号3)/4a1对于函数)(xfy,Dx,若同时满足以下条件:①)(xf在D上单调递增或单调递减;②存在区间Dba],[,使)(xf在],[ba上的值域也是],[ba,则称函数)(xf是闭函数.(1)求函数)(xf3x,符合条件②的区间],[ba;(2)当0,12ab时判断函数42yxx是不是闭函数,并说明理由;(3)若函数2yxk是闭函数,求实数k的取值范围.解(1)由()fx3x在],[ba上为减函数,得33baabab,解之得1,1ba,∴所求区间为]1,1[.(2)取121,10xx,可得)(xf不是减函数,取1211,10100xx,可得)(xf在),0(不是增函数,∴)(xf不是闭函数.(3)设函数符合条件②的区间为],[ba,则22akabkb,故a,b是方程2xkx的两个实根,命题等价于22(21)202xkxkxxk有两个不相等的实根,当2k时,22222122(21)4(2)02(21)20kkkkkk,解得94k,∴9(,2]4k.当2k时,2222212(21)4(2)0(21)20kkkkkkkk,无解.∴k的取值范围是9(,2]4k.对于定义域为D的函数)(xfy,若同时满足:①)(xf在D上单调递增或单调递减;②存在区间[a,b]D,使)(xf在[a,b]上的值域为[a,b],那么把)(xfy(Dx)叫做闭函数。(1)请你举出一个闭函数的例子,并写出它的一个符合条件②的区间[a,b];(2)求闭函数3xy符合条件②的区间[a,b];(3)判断函数),0(,lg2)(xxxxf是否为闭函数?并说明理由;(4)若2)(xkxf是闭函数,求实数k的取值范围;(5)判断函数),0(,lg)(xxxf是否为闭函数?并说明理由;(6)是否存在实数m,使函数h(x)=x3-3x2+mx是R上的闭函数?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.(7)找出所有形如f(x)=xbxaln的函数,使其在[1,25]上是闭函数,且条件(2)中的[a,b]=[1,25]。解:(1)如xxf)(,[a,b]=[1,2]。(2)[-1,1](3)∵19)10(,2)1(,50101)1001(fff,∴函数在定义域内既不单调递增也不单调递减,从而该函数不是闭函数.(4)若2)(xkxf是闭函数,∵函数2)(xkxf在定义域内单调递增,∴22bkbaka,∴a、b为方程2xkx的两个实数根。解法一:方程)(xg=),2(02)12(22kxxkxkx有两个不相等的实根.当时,有22120)2(0kg,解得2,49k.当时,有kkkg2120)(0,无解.综上所述,2,49k.解法二:方程可化为2xxk令,02xt,则)(22tgttk,,49)21(,2)0(21210)(gg,,,,tg且上是增函数在上是减函数在依题意,函数ky与)0(22xtty的图象有两个交点,∴实数k的取值范围为2,49。(5)不是,用导数法可证明:当x0时,xlgx。(6)h(x)=x3-3x2+mx,h′(x)=3x2-6x+m.h′(x)≤0恒成立不可能,而当△=36-12m≤0,即m≥3时,h′(x)≥0恒成立.∴m≥3时,h(x)为单调函数,满足①.故h(x)为闭区间的充要条件为h(x)=x,即x3-3x2+(m-1)x=0至少有一个非零实根.而方程x2-3x+m-1=0④在m≥3时无零根,故只需方程④有实根,则△=9-4(m-1)≥0,得m≤413。∴当3≤m≤413时,函数h(x)是R上的闭函数.(7)①若f(x)在[1,25]上为增函数,则f(1)=1,f(25)=25,即a=1,5a+ln25·b=25,ln25·b=20,∴b=20/ln25=10/ln5∵y=x在[1,25]上为增函数,y=x5log10在[1,25]上为增函数,∴f(x)在[1,25]上为增函数。②若f(x)在[1,25]上为减函数,则f(1)=25,f(25)=1即a=25,5a+ln25·b=1,∴b=5ln62,∴f(x)=xx5log6225。∵f(5)0,∴f(1)f(5),f(5)f(25),∴f(x)在[1,25]上不为单调递减函数。所以,f(x)=x+x5log10。闭函数【数学思想】数形结合思想、转化思想、函数方程不等式思想、整体思想等.我们也接触了一类它的定义域与值域相等且单调的函数如:(1),[,](,)yxxaborab等.(2),[,](,)(0)yxxaaoraaa等.(3),[,]yxmxab,且mba.(4)2212,[0,1],(0,2)yxxoryxx等.象上面一类满足某些特定条件的函数在高考中频频出现,今天我们一起探讨这类问题.定义对于函数))((Dxxf,若同时满足以下条件:①)(xf在D上单调递增或单调递减;②存在区间Dba],[使)(xf在],[ba上的值域是],[ba.那么,我们把函数))((Dxxf叫做闭函数.【点评与定义分析】1一个新概念“闭函数”就在这两个条件下诞生了,这是考查我们的适应能力,学习(阅读)能力,理解能力,逻辑思维能力,要求我们对定义给予的每个条件来理解、掌握、并运用一个崭新的概念.2区间[,]ab是定义域D的子区间,且隐含着ab.问题是数学的心脏,数学中正是因为有不断的问题呈现,它才具活力.那么对这个闭函数概念我们能提出什么样的问题呢?有什么样的问题可以考查呢?【联想提出问题】1闭函数与传统的初等函数有什么区别与联系?答:它并不是我们没有接触过的函数,它是我们所学过函数中的一类特别函数.2判断所学过的初等函数中哪些是闭函数?哪些不可能是闭函数?哪些可能是闭函数?答:前面大家给出的函数等,当然还有很多符合条件的函数,如(nyxn是正奇数)等.不是单调的函数不可能是闭函数,单调函数有可能是闭函数.3判断某具体函数是否是闭函数,应先考察函数满足哪个条件?为什么?答:当然①,因为就是满足②,还必须满足①.研究与闭函数相关的问题例1求闭函数3()yxxR符合条件②的区间],[ba.解析:因为3xy是单调递减函数,所以有1133babaabba,即]1,1[],[ba.试题点评:1求闭函数满足条件的区间问题转化为解方程组.(转化思想)一般地:2若闭函数()()yfxxD是单调递减函数,则区间],[ba满足()()fabfba.3若闭函数()()yfxxD是单调递增函数,则区间],[ba满足()()faafbb方程()fxx在D上有两个不等的实根函数()yfx与yx的图象有两个不同的交点.例2判断函数xxylg2是不是闭函数?若是,说明理由,并找出区间],[ba;若不是,说明理由.解析:函数xxylg2,可看成是两个单调递增函数xy21与xylg2的差.对于第二个函数开始时递增快,后来递增慢,故整个函数可能不单调.取19)10(,2)1(,02.2)1001(fff,∴xxylg2不具有单调性,故它不是闭函数.试题点评:判断函数是不是闭函数,首先要考察函数是否单调,若不单调,则可通过对解析式分析或数形结合分析进行判断,并取值验证;若是单调函数,则要严格证明.例3若2xky是闭函数,求实数k的取值范围.解析:设122xx,则12121212(2)(2)()()22022xxfxfxxxxx,所以2xky是单调递增函数.若它是闭函数,则必具备方程2xkx有两个不相同的实数解,即方程02)12(22kxkx有两个不同的实数解且同时大于或等于2和k.若令2)12()(22kxkxxg,则212221()02(2)0()09(,2]4kkgggkk.另解:方程2xkx有两个不相同的实数解,-2Oyx等价于两函数kxy1与22xy的图象有两个不同的交点,如图当直线过)0,2(时,2k;直线与抛物线相切时49k,∴]2,49(k.试题点评:与闭函数相关的含参数问题,若所给函数在定义域D上单调递增,则利用函数方程不等式思想,可以转化成三个二次的问题.【研究问题】(供老师与同学课后或下一节课研究、探讨)1除了上面的一次函数外,还有其它的一次函数吗?为什么?xy2行吗?答:)(Rxmxy都是闭函数.2反比例函数(0,0)kykxx和(0,0)kykxx都是闭函数,而(0,0)kykxx和(0,0)kykxx不是闭函数.3函数)(Rxayx能否是闭函数?若能,求出其中一个a值;若不能,说明理由.答:如)(,)2(Rxyx而]4,2[],[ba.4函数)0(logxxya能否是闭函数?若能,求出其中一个a值;若不能,说明理由.答:如)0(,log2xxy等.5例1中的函数3xy对应的函数1)1(3xy是否也是闭函数?说明理由.答:可取0,2ab是闭函数.四反思、小结与作业:1求闭函数满足条件的区间问题的本质是解方程;当函数是增函数时,几何意义是曲线与直线xy有两个交点,且反函数也是闭函数.2一个数学概念的产生,完全依靠定义.由定义产生了一个新概念,从而在这基础上,形成了数学的一部分知识内容,所以我们要重视对新概念定义的学习.备选试题:问题1:已知函数213()22fxxx的定义域的值域均为A,写出五个满足条件的A.答:直线yx与213()22fxxx的两个交点是(1,1),(3,3).引变:(1)函数变成21()(2)12fxx,又怎样.(2)函数变成21()(2)2fxx,又怎样.问题2:设函

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