函数新定义问题

历年高考新定义函数问题一、利用函数性质解决函数新定义问题1．（2012年高考（福建理））设函数1,()0,Dxxx为有理数为无理数,则下列结论错误的是（）A．()Dx的值域为0,1B．()Dx是偶函数C．()Dx不是周期函数D．()Dx不是单调函数1【答案】C【解析】A,B.D均正确,C错误.【考点定位】该题主要考查函数的概念、定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性,全面掌握很关键.2．（2012年高考（福建理））对于实数a和b,定义运算“﹡”:22,*,aababbababab,设()(21)*(1)fxxx,且关于x的方程为()()fxmmR恰有三个互不相等的实数根123,,xxx,则123xxx的取值范围是_________________.2【解析】由定义运算“*”可知2222112()0(21)(21)(1),21148()=11(1)(21)(1),211()024xxxxxxxfxxxxxxxx，＞＞,画出该函数图象可知满足条件的取值范围是1316（,0）.二、利用数形结合解决函数新定义问题1.【2015高考天津，理8】已知函数22,2,2,2,xxfxxx函数2gxbfx，其中bR，若函数yfxgx恰有4个零点，则b的取值范围是()（A）7,4（B）7,4（C）70,4（D）7,24【答案】D【解析】由22,2,2,2,xxfxxx得222,0(2),0xxfxxx，所以222,0()(2)42,0222(2),2xxxyfxfxxxxxxx，即222,0()(2)2,0258,2xxxyfxfxxxxx()()()(2)yfxgxfxfxb,所以yfxgx恰有4个零点等价于方程()(2)0fxfxb有4个不同的解，即函数yb与函数()(2)yfxfx的图象的4个公共点，由图象可知724b.【考点定位】求函数解析、函数与方程思、数形结合.【名师点睛】本题主要考查求函数解析、函数与方程思、数形结合思想以及学生的作图能力.将求函数解析式、函数零点、方程的解等知识结合在一起，利用等价转换、数形结合思想等方法，体现数学思想与方法，考查学生的运算能力、动手作图能力以及观察能力.是提高题.2.【2015高考四川，理15】已知函数xxf2)(，axxxg2)(（其中Ra）.对于不相等的实数21,xx，设2121)()(xxxfxfm，2121)()(xxxgxgn.现有如下命题：（1）对于任意不相等的实数21,xx，都有0m；（2）对于任意的a及任意不相等的实数21,xx，都有0n；（3）对于任意的a，存在不相等的实数21,xx，使得nm；（4）对于任意的a，存在不相等的实数21,xx，使得nm.其中的真命题有（写出所有真命题的序号）.【答案】①④【解析】设11221122(,()),(,()),(,()),(,())AxfxBxfxCxgxDxgx.对（1），从2xy的图象可看出，0ABmk恒成立，故正确.对（2），直线CD的斜率可为负，即0n，故不正确.对（3），由m=n得1212()()()()fxfxgxgx，即1122()()()()fxgxfxgx.令2()()()2xhxfxgxxax，则()2ln22xhxxa.由()0hx得：2ln22xxa，作出2ln2,2xyyxa的图象知，方程2ln22xxa不一定有解，所以()hx不一定有极值点，即对于任意的a，不一定存在不相等的实数21,xx，使得12()()hxhx，即不一定存在不相等的实数21,xx，使得nm.故不正确.对（4），由m=－n得1221()()()()fxfxgxgx，即1122()()()()fxgxfxgx.令2()()()2xhxfxgxxax，则()2ln22xhxxa.由()0hx得：2ln22xxa，作出2ln2,2xyyxa的图象知，方程2ln22xxa必一定有解，所以()hx一定有极值点，即对于任意的a，一定存在不相等的实数21,xx，使得12()()hxhx，即一定存在不相等的实数21,xx，使得mn.故正确.所以（1）（4）【考点定位】函数与不等式的综合应用.【名师点睛】四川高考数学15题历来是一个异彩纷呈的题，个中精彩读者可从解析中慢慢体会.解决本题的关键是转化思想，通过转化使问题得以解决.3．（2013年高考湖北卷（文8））x为实数,[]x表示不超过x的最大整数,则函数()[]fxxx在R上为（）A．奇函数B．偶函数C．增函数D．周期函数【答案】D【命题立意】本题考查函数的性质与判断。在12x时，()1fxx，在23x时，()2fxx，在34x时，()3fxx。在1nxn时，()fxxn。画出图象由图象可知函数没有奇偶性,在[n,n+1)上单调递增，是周期函数，周期是1.选D.4．（2013年高考辽宁卷（文12））已知函数222222,228.fxxaxagxxaxa设12max,,min,,max,HxfxgxHxfxgxpq表示,pq中的较大值,min,pq表示,pq中的较小值,记1Hx得最小值为,A2Hx得最小值为B,则AB（）A．2216aaB．2216aaC．16D．16【答案】C()fx顶点坐标为(2,44)aa，()gx顶点坐标(2,412)aa，并且()fx与()gx的顶点都在对方的图象上，图象如图，A、B分别为两个二次函数顶点的纵坐标，所以A-B=(44)(412)16aa.[方法技巧]（1）本题能找到顶点的特征就为解题找到了突破口。（2）并不是A，B在同一个自变量取得。5．（2012年高考（福建理））函数()fx在[,]ab上有定义,若对任意12,[,]xxab,有12121()[()()]22xxffxfx,则称()fx在[,]ab上具有性质P.设()fx在[1,3]上具有性质P,现给出如下命题:①()fx在[1,3]上的图像时连续不断的;②()fx在[1,3]上具有性质P;③若()fx在2x处取得最大值1,则()1,[1,3]fxx;④对任意1234,,,[1,3]xxxx,有123412341()[()()()()]44xxxxffxfxfxfx其中真命题的序号是（）A．①②B．①③C．②④D．③④5【答案】D【解析】正确理解和推断可知①②错误,③④错误【考点定位】此题主要考查函数的概念、图像、性质,考查分析能力、推理能力、数形结合思想,转化化归思想.三、利用特殊值法解决函数新定义问题1.【2015高考湖北，理6】已知符号函数1,0,sgn0,0,1,0.xxxx()fx是R上的增函数，()()()(1)gxfxfaxa，则（）A．sgn[()]sgngxxB．sgn[()]sgngxxC．sgn[()]sgn[()]gxfxD．sgn[()]sgn[()]gxfx【答案】B【解析】因为()fx是R上的增函数，令xxf)(，所以xaxg)1()(，因为1a，所以)(xg是R上的减函数，由符号函数1,0sgn0,01,0xxxx知，1,0sgn[()]0,0sgn1,0xgxxxx.【考点定位】符号函数，函数的单调性.【名师点睛】构造法数求解高中数学问题常用方法，在选择题、填空题及解答题中都用到，特别是求解在选择题、填空题构造恰当的函数，根据已知能快捷的得到答案。2.【2015高考浙江，理7】存在函数()fx满足，对任意xR都有（）A.(sin2)sinfxxB.2(sin2)fxxxC.2(1)1fxxD.2(2)1fxxx【答案】D.【考点定位】函数的概念【名师点睛】本题主要考查了函数的概念，以及全称量词与存在量词的意义，属于较难题，全称量词与存在量词是考试说明新增的内容，在后续复习时应予以关注，同时，“存在”，“任意”等一些抽象的用词是高等数学中经常会涉及的，也体现了从高中数学到大学高等数学的过渡，解题过程中需对函数概念的本质理解到位，同时也考查了举反例的数学思想.1．（2013年高考陕西卷（文10））设[x]表示不大于x的最大整数,则对任意实数x,y,有（）A．[-x]=-[x]B．[x+]=[x]C．[2x]=2[x]D．【答案】D代值法。121[][][2]2xxx对A,设x=-1.8,则[-x]=1,-[x]=2,所以A选项为假。对B,设x=1.8,则[x+21]=2,[x]=1,所以B选项为假。对C,设x=-1.4,[2x]=[-2.8]=-3,2[x]=-4,所以C选项为假。故D选项为真。所以选D4．（2012年高考（四川理））记[]x为不超过实数x的最大整数,例如,[2]2,[1.5]1,[0.3]1.设a为正整数,数列{}nx满足1xa,1[][]()2nnnaxxxnN,现有下列命题:①当5a时,数列{}nx的前3项依次为5,3,2;②对数列{}nx都存在正整数k,当nk时总有nkxx;③当1n时,1nxa;④对某个正整数k,若1kkxx,则[]nxa.其中的真命题有____________.(写出所有真命题的编号)4[答案]①③④[解析]若5a,根据1[][]()2nnnaxxxnN当n=1时,x2=[215]=3,同理x3=2]213[,故①对.对于②③④可以采用特殊值列举法:当a=1时,x1=1,x2=1,x3=1,xn=1,此时②③④均对.当a=2时,x1=2,x2=1,x3=1,xn=1,此时②③④均对当a=3时,x1=3,x2=2,x3=1,x4=2xn=1,此时③④均对综上,真命题有①③④.[点评]此题难度较大,不容易寻找其解题的切入点,特殊值列举是很有效的解决办法.四、新定义函数的综合问题1．（2013年高考江西卷（文））设函数1,0()1(1),11xxaafxxaxaa为常数且a∈(0,1).(1)当a=12时,求f(f(1313));(2)若x0满足f(f(x0))=x0,但f(x0)≠x0,则称x0为f(x)的二阶周期点,证明函数()fx有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点x1,x2;(3)对于(2)中x1,x2,设A(x1,f(f(x1))),B(x2,f(f(x2))),C(a2,0),记△ABC的面积为s(a),求s(a)在区间[1313,121]上的最大值和最小值.【答案】解:(1)当12a=时,121222(),(())()2(1)333333ffff＝(2222221,01(),(1)2)(())1(),1(1)1(1),11(1)xxaaaxaxaaaffxxaaxaaaxaaxaa当20xa时,由21xxa解得x=0,由于f(0)=0,故x=0不是f(x)的二阶周期点;当2axa时由1()(1)axxaa解得21axaa2(,),aa因222211()1111aaafaaaaaaaaa故21axaa是f(x)的二阶周期点;当21axaa时,由21