2013届高考数学一轮复习讲义：第二章-2[1].2-函数的定义域、值域及函数的解析式

主页一轮复习讲义函数的定义域、值域及函数的解析式主页1．函数的定义域(1)函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围．(2)求定义域的步骤①写出使函数式有意义的不等式(组)；②解不等式组；③写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出)(3)常见基本初等函数的定义域①分式函数中分母不等于零．②偶次根式函数、被开方式大于或等于0.忆一忆知识要点要点梳理主页③一次函数、二次函数的定义域为.④y＝ax(a0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx，定义域均为.⑤y＝tanx的定义域为.⑥函数f(x)＝x0的定义域为．2．函数的值域(1)在函数y＝f(x)中，与自变量x的值相对应的y的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域．(2)基本初等函数的值域①y＝kx＋b(k≠0)的值域是.忆一忆知识要点RRx|x∈R且x≠kπ＋π2，k∈Z{x|x∈R且x≠0}R要点梳理主页②y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a0时，值域为；当a0时，值域为.③y＝kx(k≠0)的值域是．④y＝ax(a0且a≠1)的值域是．⑤y＝logax(a0且a≠1)的值域是.⑥y＝sinx，y＝cosx的值域是．⑦y＝tanx的值域是.忆一忆知识要点4ac－b24a，＋∞－∞，4ac－b24a{y|y∈R且y≠0}(0，＋∞)R[－1,1]R要点梳理主页3．函数解析式的求法(1)换元法：若已知f(g(x))的表达式，求f(x)的解析式，通常是令g(x)＝t，从中解出x＝φ(t)，再将g(x)、x代入已知解析式求得f(t)的解析式，即得函数f(x)的解析式，这种方法叫做换元法，需注意新设变量“t”的范围．(2)待定系数法：若已知函数类型，可设出所求函数的解析式，然后利用已知条件列方程(组)，再求系数．(3)消去法：若所给解析式中含有f(x)、f1x或f(x)、f(－x)等形式，可构造另一个方程，通过解方程组得到f(x)．(4)配凑法或赋值法：依据题目特征，能够由一般到特殊或由特殊到一般寻求普遍规律，求出解析式．忆一忆知识要点要点梳理主页[难点正本疑点清源]1．函数的定义域是研究函数问题的先决条件，它会直接影响函数的性质，所以要树立定义域优先的意识．2．(1)如果函数f(x)的定义域为A，则f(g(x))的定义域是使函数g(x)∈A的x的取值范围．(2)如果f(g(x))的定义域为A，则函数f(x)的定义域是函数g(x)的值域．(3)f[g(x)]与f[h(x)]联系的纽带是g(x)与h(x)的值域相同．主页例1（1）函数f(x)＝3x21－x＋lg(3x＋1)的定义域为_______．(2)函数y＝ln(x＋1)－x2－3x＋4的定义域为_______．求函数的定义域定义域就是使解析式有意义的自变量的取值集合．注意对数、根式和分式．(1)由1－x03x＋10，得－13x1.(2)由x＋10－x2－3x＋40，得－1x1.－13，1(－1,1)主页(1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集，其准则一般是：①分式中，分母不为零；②偶次根式，被开方数非负；③对于y＝x0，要求x≠0；④对数式中，真数大于0，底数大于0且不等于1；⑤由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束．(2)抽象函数的定义域要看清内、外层函数之间的关系．探究提高主页(1)若f(x)＝，则f(x)的定义域为__________．变式训练1要使f(x)有意义，需log(2x＋1)0＝log1，∴02x＋11，∴－12x0.－12，0)12(log121x2121主页(2)若函数f(x)＝x－4mx2＋4mx＋3的定义域为R，则实数m的取值范围是__________．f(x)的定义域为R，即mx2＋4mx＋3≠0恒成立．①当m＝0时，符合条件．②当m≠0时，Δ＝(4m)2－4×m×30，即m(4m－3)0，∴0m34.综上所述，m的取值范围是0，34.0，34主页例2若函数f(2x)的定义域是[－1,1]，求f(log2x)的定义域．抽象函数的定义域先求f(x)的定义域，再求f(log2x)的定义域．∵f(2x)的定义域是[－1,1]，∴12≤2x≤2，即y＝f(x)的定义域是12，2，由12≤log2x≤2⇒2≤x≤4.∴f(log2x)的定义域是[2，4]．主页已知f(x)的定义域是[a，b]，求f[g(x)]的定义域，是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围，而已知f[g(x)]的定义域是[a，b]，指的是x∈[a，b]．探究提高主页已知f(x)的定义域是[0,4]，求：(1)f(x2)的定义域；(2)f(x＋1)＋f(x－1)的定义域．变式训练2∵f(x)的定义域为[0,4]，(1)有0≤x2≤4，∴－2≤x≤2.故f(x2)的定义域为[－2,2]．(2)有0≤x＋1≤4，0≤x－1≤4，∴1≤x≤3.故f(x＋1)＋f(x－1)的定义域为[1,3]．点评如果已知函数是由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分有意义的公共部分的集合．主页例3求下列函数的值域．(1)y＝x2＋2x(x∈[0,3])；(2)y＝x－3x＋1；(3)y＝x－1－2x；(4)y＝log3x＋logx3－1.求函数的值域根据各个函数解析式的特点，考虑用不同的方法求解．(1)配方法；(2)分离常数法；(3)换元法或单调性法；(4)基本不等式法．主页(1)(配方法)y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，y＝(x＋1)2－1在[0,3]上为增函数，∴0≤y≤15，即函数y＝x2＋2x(x∈[0,3])的值域为[0,15]．(2)(分离常数法)y＝x－3x＋1＝x＋1－4x＋1＝1－4x＋1.因为4x＋1≠0，所以1－4x＋1≠1，即函数的值域是{y|y∈R，y≠1}．主页(3)方法一(换元法)令1－2x＝t，则t≥0且x＝1－t22，于是y＝1－t22－t＝－12(t＋1)2＋1，由于t≥0，所以y≤12，故函数的值域是y|y≤12.方法二(单调性法)容易判断函数y＝f(x)为增函数，而其定义域应满足1－2x≥0，即x≤12，所以y≤f12＝12，即函数的值域是y|y≤12.主页(4)(基本不等式法)函数定义域为{x|x∈R，x0，且x≠1}．当x1时，log3x0，于是y＝log3x＋1log3x－1≥2log3x·1log3x－1＝1；当0x1时，log3x0，于是y＝log3x＋1log3x－1＝－(－log3x)＋1－log3x－1≤－2－1＝－3.故函数的值域是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．主页(1)当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；(2)若与二次函数有关，可用配方法；(3)若函数解析式中含有根式，可考虑用换元法或单调性法；(4)当函数解析式结构与基本不等式有关，可考虑用基本不等式求解；(5)分段函数宜分段求解；(6)当函数的图象易画出时，还可借助于图象求解．探究提高主页求下列函数的值域：(1)y＝x2－xx2－x＋1；(2)y＝2x－1－13－4x.变式训练3(1)方法一(配方法)∵y＝1－1x2－x＋1，又x2－x＋1＝x－122＋34≥34，∴01x2－x＋1≤43，∴－13≤y1.∴函数的值域为－13，1.主页方法二(判别式法)由y＝x2－xx2－x＋1，x∈R，得(y－1)x2＋(1－y)x＋y＝0.∵y＝1时，x∈∅，∴y≠1.又∵x∈R，∴Δ＝(1－y)2－4y(y－1)≥0，解得－13≤y≤1.综上得－13≤y1.∴函数的值域为－13，1.主页(2)方法一(换元法)设13－4x＝t，则t≥0，x＝13－t24，于是f(x)＝g(t)＝2·13－t24－1－t＝－12t2－t＋112＝－12(t＋1)2＋6，显然函数g(t)在[0，＋∞)上是单调递减函数，所以g(t)≤g(0)＝112，因此原函数的值域是－∞，112.主页方法二(单调性法)函数定义域是x|x≤134，当自变量x增大时，2x－1增大，13－4x减小，所以2x－1－13－4x增大，因此函数f(x)＝2x－1－13－4x在其定义域上是一个单调递增函数，所以当x＝134时，函数取得最大值f134＝112，故原函数的值域是－∞，112.主页例4(1)已知fx＋1x＝x2＋1x2，求f(x)的解析式；(2)已知f2x＋1＝lgx，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；(4)已知f(x)满足2f(x)＋f1x＝3x，求f(x)的解析式．求函数的解析式(1)令x＋1x＝t，则t2＝x2＋1x2＋2≥4.∴t≥2或t≤－2且x2＋1x2＝t2－2，∴f(t)＝t2－2，即f(x)＝x2－2(x≥2或x≤－2)．主页(2)令2x＋1＝t，由于x0，∴t1且x＝2t－1，∴f(t)＝lg2t－1，即f(x)＝lg2x－1(x1)．(3)设f(x)＝kx＋b，∴3f(x＋1)－2f(x－1)＝3[k(x＋1)＋b]－2[k(x－1)＋b]＝kx＋5k＋b＝2x＋17.∴k＝25k＋b＝17，即k＝2b＝7.∴f(x)＝2x＋7.(4)∵2f(x)＋f1x＝3x，∴2f1x＋f(x)＝3x.∴f(x)＝2x－1x(x≠0)．主页函数解析式的求法(1)凑配法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)方程思想：已知关于f(x)与f1x或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．探究提高主页给出下列两个条件：(1)f(x＋1)＝x＋2x；(2)f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2.试分别求出f(x)的解析式．变式训练4(1)令t＝x＋1，∴t≥1，x＝(t－1)2.则f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．主页(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c，又f(0)＝c＝3.∴f(x)＝ax2＋bx＋3，∴f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.∴4a＝44a＋2b＝2，∴a＝1b＝－1，∴f(x)＝x2－x＋3.主页(14分)已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，试求函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的值域．函数问题首先要考虑定义域答题规范学生解答展示主页(1)f(x)的定义域；(2)y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域与f(x)的定义域不同；(3)如何求y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域．审题视角规范解答∵f(x)＝2＋log3x的定义域为[1,9]，要使[f(x)]2＋f(x2)有意义，必有1≤x≤9且1≤x2≤9，∴1≤x≤3，[4分]主页∴y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域为[1,3]．又y＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2＝(log3x＋3)2－3.[8分]∵x∈[1,3]，∴log3x∈[0,1]，∴ymax＝(1＋3)2－3＝13，ymin＝(0＋3)2－3＝6.[12分]∴函数y＝[f(x