2009年全国各地高考与模拟数学创新题评析

高考试题研究”12009年全国各地高考与模拟数学创新题评析福建省厦门外国语学校高中毕业生执笔：吴育文中图分类号：O12-44文献标识码：A文献编号：2009年是许多省市展示新课程成果的一年,因此也涌现出了一大批的创新类试题,它们或是设问创新,或是情景创新,给人以不一样的感觉.现在我在这里对09年各考区的创新试题及模拟题进行详细地归类分析,共分为七类,涉及了集合、函数、数列、程序框图、向量、排列组合、概率.其中不仅详细分析了题目的解题方法,部分题目还给予了自编题,供读者参悟.当然这份整编也不可能面面具到,况且本人的水平有有限,不足之处,笔者希望大家能够谅解并且互相学习!1．集合例1(2009年北京海淀)对于数列}{na,若存在常数M,使得*Nn,na与1na中至少有一个不小于M,则记:Man}{,那么下列命题正确的是A．若Man}{,则数列}{na的各项均大于或等于MB．若Man}{,Mbn}{,则Mbann2}{C．若Man}{,则22}{ManD．若Man}{,则12}12{Man解析：显然A错误,如{an}={0,M,0,M,0,M,…}B也是错误的，如{an}={0,M,0,M,0,M,…}{bn}={M,0,M,0,M,0,…}则可以得到{an+bn}={M,M,M,M,…}2M对于C也是错误的，如{an}={M,－2M,M,－2M,M,－2M,…}有}{2naM2所以选择D.例2(2008年福建高考)设P是一个数集,且至少含有两个数,若对任意a、b∈P,都有a+b、a－b、ab、ab∈P,(除数b≠0),则称P是一个数域.例如有理数集Q是数域；数集F={a+b2|a、b∈Q}也是数域.有下列命题:①整数集是数域;②若有理数集QQMM,则数集M必为数域;③数域必为无限集;④存在无穷多个数域.其中正确的命题序号是:.(把你认为正确的命题的序号都填上)解析:这类型的题目看似无路可破，但是实际上是十分简单的，它考查的是学生实际分析问题并解决问题的能力！进行逐一排除:如取a=1,b=2，显然违背了ab∈P,故整数集不一定是数域,①错.若a=1,b=2,显然违背了ab∈P,所以②为假命题;相减或作商必定可以延伸出无限多个元素,所以数域必为无限集，③是正确的,④显然是成立的.所以③④正确.答案:③④从这道题目中我们可以得出以下应考的常见结论：(i)注重题目所给的提示信息，如本题中的“F={a+b2|a、b∈Q}也是数域.”，读懂它就可以排除②(ii)答案一般是双选了解了这些基本的常识，在遇到题目的时候就可以不谎不忙，从容不迫，大大增加的正确率.例3(2008年自编题)定义:已知两数a、b,按规则c=ab+a+b扩充得到一个数c便称c为“新数”，现有数1和4①按上述规则操作三次后得到的最大新数c*=49;②2008不是新数;③c+1总能被2整除;④c+1不一定能被10整除;⑤499不可能是新数.其中正确．．的说法是.解析：这道题目我想从两个角度向大家介高考试题研究”2绍，首先是传统的解法：逐一进行判断:①c1=1×4+4+1=9c2=9×4+4+9=49c3=9×49+49+9=499,从而c*=499;故①错⑤错;接下来就要求同学们能够细心观察了c=ab+a+b+1－1=(a+1)(b+1)－1=,从而c+1=(a+1)(b+1),取c与a组成新数d=ac+a+c=(a+1)(c+1)－1=(a+1)(a+1)(b+1)－1=(a+1)2(b+1)－1,d+1=(a+1)2(b+1)取c与b组成新数e=bc+b+c=(b+1)(c+1)－1=(b+1)(b+1)(a+1)－1=(b+1)2(a+1)－1,e+1=(b+1)2(a+1)从而经过扩充后新数可以表示为x+1=2m5n,故2008不是新数,c+1总能被2整除且c+1总能被10整除，故②③均正确答案:②③下面我来介绍猜的方法：①c1=1×4+4+1=9c2=9×4+4+9=49c3=9×49+49+9=499,从而c*=499;故①错⑤错;从上面分析可以猜测新数必然是奇数且c+1能被10整除，所以排除④，选②③例4(2008年厦门质检)定义：若平面点集A中的任一个点00(,)xy，总存在正实数r，使得集合2200(,)|()()xyxxyyrA，则称A为一个开集．给出下列集合：①22(,)|1xyxy；②(,)|20xyxy；③(,)6xyxy；④22(,)|0(2)1xyxy．其中是开集的是．（请写出所有符合条件的序号）解析：本题将大学拓扑学的基本概念引入高中，考查了学生分析和解决问题的能力！下面画图进行判断：对于①(x0,y0)-11Oyx显然不存在一个面集点集，该集合不符合题目要求。对于②(x0,y0)-2-2Oyx显然存在面集面集，该集合符合题目要求。对于③66(x0,y0)-6-6Oyx在边界上的),(00yx，怎么取也难以得到符合题目要求的圆，所以该集合不符合。对于④(x0,y0)Oyx显然存在面集面集，该集合符合题目要求。所以综合上面的分析有答案为②④高考试题研究”3例5(2009年福建省质检)设M为平面内一些向量组成的集合,若对任意正实数r和向量Ma,都有Mar,则称M为锥.现有下列平面向量的集合:上述为锥的集合的个数是A．1B．2C．3D．4解析：不可能是曲边界的区域，排除①④给出图象，易知②③选B总结：在集合中设置创新题，破题的方法为：（1）认真读懂题目，不要看错题目（2）在理解题目的基础上进行思维（往往有举反例，猜想，归纳的思想）（3）在解决完后可以依据自己的解题经验检验自己解答的正确与否。2．函数例1(2009年北京高考)点P在直线:1lyx上，若存在过P的直线交抛物线2yx于,AB两点，且ABPA，则称点P为“点”，那么下列结论中正确的是A．直线l上的所有点都是“点”B．直线l上仅有有限个点是“点”C．直线l上的所有点都不是“点”D．直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”解析：取)1,(00xxP,),(211xxA,),(222xxB若ABPA,则0122xxx,1202122xxx所以有01420201021xxxxx,因为0)1(8020xx即对任意的点P,均存在A、B符合题目要求,所以直线l上的所有点都是“点”选A例2(2009年福建高考)函数f(x)=a2x+bx+c(a0)的图象关于直线x=－2ba对称.据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程m[f(x)]2+nf(x)+p=0的解集都不可能是A.1,2B1,4C1,2,3,4D1,4,16,64解析：根据方程m[f(x)]2+nf(x)+p=0的性质可以知道，无论根有多少个，他们一定要关于某条直线对称，显然24162164，所以答案选择D评析：本题要求学生抓住问题的本质去分析，要求学生灵活地运用知识去分析并解决问题，这是新课程改革后值得提倡的题目！例3(2009年北京海淀)已知函数)22)(1(sin)(22xxxxxf.(i)那么方程0)(xf在区间]100,100[上的根的个数是;(ii)对于下列命题:①函数)(xf是周期函数;②函数)(xf既有最大值又有最小值;③函数)(xf的定义域是R,且其图象有对称轴;④对于任意)0,1(x,函数)(xf的导函数0)('xf.其中真命题的序号是.（填写出所有真命题的序号）解析：这道题目是我认为非常精彩的题目，它的逻辑分析值得学习！(i)所谓“数学”便是要学生去学会观察数字间的关系，去分析，猜想，最终得到解决问题。先观察所给出的这个函数)22)(1(sin)(22xxxxxf，显然对于Rx0)22)(1(22xxx恒成.所以)(xf等不等于零看xsin8642-2-4-6-10-55104321根据图象可以知道：]100,0(内一个周期有2根,50个周期有100根.由对称性知道)0,100[内也有100个根，再加上原点的一个共有20112100个实数根(ii)下面这道题目也是需要具备一定的逻辑高考试题研究”4分析能力：①随着分母的增大，)(xf逐渐变小，故)(xf不可能是周期函数，①错。②)(xf的大致图象可绘制如图所示（暂时还不知道是关于某直线对称），可以分析出其具有最大值和最小值。2.521.510.5-0.5-1-1.5-2-3-2-1123③定义域为R容易判断，由于其的增减性，要是对称轴存在，应该是21或21猜想是21x，下面进行证明：)()1](1)1[()sin()1(22xfxxxxf猜想成立。所以)(xf存在对称轴21x，③正确。④因为0)0()1(ff所以)(xf不可能在)0,1(上递减。所以④错所以综合上面的分析推理，正确答案为②③评析：由于这道题目思维的巧妙性，它足以改编作为压轴大题，现在笔者在此将其改编为压轴大题：(2009年自编题)(14分)已知函数)22)(1(sin)(22xxxxxf,Rx.(1)请判断方程0)(xf在区间]2009,2009[上的根的个数，并说明理由；（2）请分析推理判断)(xf是否具有对称性，如果具有对称性，请求出对称轴；若不具有对称性，请说明理由；（3）求证：52212sin)212(2niiif.参考答案及评分标准：解：（1）因为对于Rx0)22)(1(22xxx恒成.所以0)(xf与0sinx具有相同的根(2分)有xysin的周期为2所以]2009,0(内有100511004个根，又对称性知道)0,2009[内有1005个根，所以0)(xf在]2009,2009[上具有2011121005个根.(4分)(2))(xf具有对称性(6分)猜想)(xf的对称轴是21x，下面进行验证：)()1](1)1[()sin()1(22xfxxxxf猜想成立。所以)(xf存在对称轴21x.(8分)(3))2()14)32()(14)12((1212sin)212(22nnnnnf22114)12(114)32(122nnn（10分）14)12(114)32(12122nn(12分)所以4)12(44)32(42941341345421212sin)212(222nniifni524)12(2522n(14分)例4(2009年北京海淀)下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R的映射过程：区间()0,1中的实数m对应数轴上的点M，如图1；将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为()0,1，如图3.图3中直线AM与x轴交于点(),0Nn，则m的象就是n，记作()fmn=.高考试题研究”5(ⅰ)方程()0fx=的解是x=;(ⅱ)下列说法中正确命题的序号是.(填出所有正确命题的序号)①114f；②fx是奇函数;③fx在定义域上单调递增;④fx的图象关于点1,02对称．解析：(i)0)(xf则21x;(ii)当41m时，∠ACM=2,此时1n故1)41(f①错)(xf的定义域为)1,0(不关于原点对称②错显然随着m的增大,n也增大;所以fx在定义域上单调递增③对又整个过程是对称的,所以④对所以经过分析可以得到答案为③④评析：本题落脚非常新颖,但是其实设题很容易,只要把握住审题加分析(当然分析并没有定势的思维,而是要具体问题具体分析).例5(2009年福建省新课程模拟题)设函数)(xf的定义域为R,若存在常数M0,使|)(xf|≤M|x|对一切实数x均成立,则称