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数系的扩充——复数最新考纲1.了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义．2．掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算．3．了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想．高考热点复数是高考的必考内容，通常以选择题、填空题的形式考查复数的概念与代数运算，也有可能是与三角函数、二项式定理等知识交汇的题目.1.复数的意义形如z＝a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫，满足，a叫做，b叫做，复数集记作，数集N，Z，Q，R，C的关系是.z＝a＋bi(a，b∈R)是实数的充要条件是；是虚数的充要条件是；是纯虚数的充要条件是.2．复数的相等两个复数相等，则．虚数单位i2＝－1实部虚部Cb＝0b≠0a＝0且b≠0它们的实、虚部分别相等(1)注意复数的代数形式z＝a＋bi中a，b∈R这一条件，否则a，b就不一定是复数的实部与虚部．(2)复数是实数的扩充，两个实数可以比较大小，但若两个复数不全为实数，则不能比较大小．在复数集里，一般没有大小之分，但却有相等与不相等之分．(3)熟悉扩充后，数的概念由实数集扩充到复数集，实数集中的一些运算性质、概念、关系就不一定适用了，如绝对值．(4)在进行复数计算时，要灵活利用i、ω(ω＝－12＋32i)的性质，适当变形，创造条件，从而转化为关于i、ω的计算问题，并注意对以下结论的灵活应用：①(1±i)2＝±2i；②1＋i1－i＝i，1－i1＋i＝－i；③i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈Z)；④ω2＝－12－32i＝ω＝1ω，ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0.(5)在进行复数的运算时，不能把实数的某些法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论，当z∈C时不总是成立的：①(zm)n＝zmn(m，n为分数)；②zm＝zn⇒m＝n(z≠1)；③z21＋z22⇔z1＝z2＝0；④|z|2＝z2.题型一复数的基本概念问题思维提示复数相等、纯虚数、虚数等概念例1当实数m为何值时，z＝m2－m－6m＋3＋(m2＋5m＋6)i(1)为实数；(2)为虚数；(3)为纯虚数；(4)复数z对应的点在复平面内的第二象限内．[分析]根据复数的有关概念，转化为实部与虚部分别满足的条件去求解．[解](1)若z为实数，则m2＋5m＋6＝0m＋3≠0，解得m＝－2.(2)若z为虚数，则m2＋5m＋6≠0且m＋3≠0，解得m≠－2且m≠－3.(3)若z为纯虚数，则m2＋5m＋6≠0m2－m－6m＋3＝0，解得m＝3.(4)若z对应的点在第二象限，则m2－m－6m＋3＜0m2＋5m＋6＞0，即m＜－3或－2＜m＜3m＜－3或m＞－2，∴m＜－3或－2＜m＜3.[规律总结]解决与复数的基本概念和性质有关的题目时，要充分利用使它们成立的充要条件，同时注意复数和实数的区别与联系．数的概念扩充到复数后，实数集中的一些运算性质、关系，在复数集上不一定成立，但利用复数的有关概念和复数相等的充要条件，把复数问题实数化是解决复数问题的关键.备考例题1题设条件不变，如果复数z对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．解：由例题解答过程可知m2－m－6m＋3＞0m2＋5m＋6＞0，即－3＜m＜－2或m＞3m＜－3或m＞－2，∴m＞3.题型二复数的基本运算思维提示①(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i；②(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；③a＋bic＋di＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c2＋d2≠0，a.b.c.d∈R).例2计算：(1)(－1＋i)(2＋i)i3；(2)(1＋2i)2＋3(1－i)2＋i；(3)1－i(1＋i)2＋1＋i(1－i)2；(4)1－3i(3＋i)2.[分析]利用复数的运算法则及特殊复数的运算性质求解．[解](1)(－1＋i)(2＋i)i3＝－3＋i－i＝－1－3i.(2)(1＋2i)2＋3(1－i)2＋i＝－3＋4i＋3－3i2＋i＝i2＋i＝i(2－i)5＝15＋25i.(3)1－i(1＋i)2＋1＋i(1－i)2＝1－i2i＋1＋i－2i＝1＋i－2＋－1＋i2＝－1.(4)1－3i(3＋i)2＝(3＋i)(－i)(3＋i)2＝－i3＋i＝(－i)(3－i)4＝－14－34i.[规律总结](1)复数代数形式的运算是复数部分的重点，其基本思路就是应用运算法则进行计算．复数的加减运算类似于实数中的多项式加减运算(合并同类项)，在乘法运算中要注意i的幂的性质，区分(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2与(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；在除法运算中，关键是“分母实数化”(分子、分母同乘以分母的共轭复数)，此时要注意区分(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2与(a＋b)(a－b)＝a2－b2，防止实数中的相关公式与复数运算混淆，造成计算失误．(2)在复数运算中要注意分析表达式的结构特征，有效地进行简化运算，提高解题速度.备考例题2已知z＝1＋i.(1)设ω＝z2＋3z－4，求ω；(2)如果z2＋az＋bz2－z＋1＝1－i，求实数a，b的值．解：(1)∵z＝1＋i，∴ω＝z2＋3z－4＝(1＋i)2＋3(1＋i)－4＝－1－i.(2)∵z2＋az＋bz2－z＋1＝(1＋i)2＋a(1＋i)＋b(1＋i)2－(1＋i)＋1＝(a＋b)＋(a＋2)ii＝(a＋2)－(a＋b)i＝1－i，∴a＋2＝1－(a＋b)＝－1，∴a＝－1b＝2.例3已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i,8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}同时满足M∩NM，M∩N≠Ø，求整数a、b.题型三复数相等思维提示实部与虚部分别相等[解]依题意得(a＋3)＋(b2－1)i＝3i①或8＝(a2－1)＋(b＋2)i，②由①得a＝－3，b＝±2，经检验，a＝－3，b＝－2不合题意，舍去．∴a＝－3，b＝2.由②得a＝±3，b＝－2.又a＝－3，b＝－2不合题意．∴a＝3，b＝－2.综合①②得a＝－3，b＝2或a＝3，b＝－2.[规律总结]此题中复数之间的等量关系并未直接给出，而是通过集合之间的关系间接给出，因此复习时应注意知识之间的相互联系，应注意思维的广阔性和严谨性的训练.备考例题3已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y.解：设x＝a＋bi(a，b∈R)，则y＝a－bi，x＋y＝2a，xy＝a2＋b2代入原式，得(2a)2－3(a2＋b2)i＝4－bi，根据复数相等得4a2＝4－3(a2＋b2)＝－6’解得a＝1b＝1或a＝1b＝－1或a＝－1b＝1或a＝－1b＝－1.故所求复数为x＝1＋iy＝1－i或x＝1－iy＝1＋i或x＝－1＋iy＝－1－i或x＝－1－iy＝－1＋i例4设关于x的方程x2－(tanθ＋i)x－(2＋i)＝0，若方程有实数根，求方程的实根和锐角θ.题型四简单的复数方程思维提示利用复数相等的定义[解]设方程的实根为x0，则x20－(tanθ＋i)x0－(2＋i)＝0，即x20－x0tanθ－2－(x0＋1)i＝0∵x0，tanθ∈R.由复数相等的定义，得x20－x0tanθ－2＝0，①x0＋1＝0，②∴x0＝－1且tanθ＝1，又∵0＜θ＜π2，∴θ＝π4.综上可知，方程的实根为x0＝－1.此时锐角θ＝π4.[规律总结]对于复系数一元二次方程，不可用判别式Δ来判断此方程有无实根，而应该运用复数相等的条件转化为实数方程进行讨论.备考例题4试分析方程x2－(4－2i)x＋3－2i＝0是否有实根？并解方程．解：设x0是方程x2－(4－2i)x＋3－2i＝0的实根，则x20－(4－2i)x0＋3－2i＝0.整理得(x20－4x0＋3)＋(2x0－2)i＝0，则x20－4x0＋3＝0，2x0－2＝0，解得x0＝1.即方程有实根．根据根与系数的关系，方程的两解分别为1,3－2i.一、概念理解错误例1两个互为共轭复数之差是()A．实数B．纯虚数C．0D．零或纯虚数[答案]D[解题思路]设互为共轭的两个复数分别为z＝a＋bi，z＝a－bi(a、b∈R)，∴z－z＝2bi或z－z＝－2bi.∵b∈R，当b≠0时，z－z，z－z为纯虚数；当b＝0时，z－z＝z－z＝0.故选D.[错因分析]混淆了复数和虚数概念，误认为共轭复数就是共轭虚数，当得到z－z＝2bi时，就认为是纯虚数，错误地选B.有些同学考虑问题是从特殊到一般，他举出一些共轭的复数，例如：2＋3i,2－3i,3i，－3i，但又漏掉了实数，犯了分类不清的错误，错误地选B.复数概念不清，忽略了a、b的取值范围，当得到z－z＝2bi时，想象b≠0，错误地选B.启示：要正确理解复数的有关概念，要全面地考虑问题，不能光看形式，更要注重本质．二、性质应用错误例2(1＋i1－i)2005等于()A．iB．－iC．22005D．－22005[答案]A[解题思路]利用i的乘方的性质1＋i1－i＝(1＋i)21＋1＝i及i4n＝1，得(1＋i1－i)2005＝i2005＝i2004·i＝i.故选A.[错因分析]对i的乘方的性质i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i掌握不好而见到高达2005次幂时无从下手．启示：熟练掌握并灵活应用i的乘方的性质，进行有关问题的代数运算，比较方便.