2014高考数学一轮复习课件等差数列及其前n项和(精)

2014高考数学一轮复习课件第2讲等差数列及其前n项和【2014年高考会这样考】1．考查利用等差数列的概念、性质、通项公式与前n项和公式解决等差数列的问题．2．在具体的问题情境中能识别具有等差关系的数列，并能用有关知识解决相应的问题．考点梳理(1)如果一个数列从第__项起，每一项与前一项的差是___________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数为等差数列的_____，公差通常用字母__表示．(2)数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N+)，d为常数．(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝___________.(2)通项公式的推广：an＝am＋________(n，m∈N+)．1．等差数列的定义2．等差数列的通项公式2同一个常数公差d(n－m)da1＋(n－1)d3．等差数列的前n项和公式Sn＝na1＋an2＝________________.na1＋nn－12d(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则______________(m，n，p，q∈N+)．(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N+)是公差为____的等差数列．(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．(5)S2n－1＝(2n－1)an.若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．4．等差数列及前n项和的性质(6)若n为偶数，则S偶－S奇＝nd2；am＋an＝ap＋aqmd（1）如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成___________，那么A叫作a与b的等差中项，即A＝a＋b2.等差数列一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，①Sn＝an＋an－1＋…＋a1，②①＋②得：Sn＝na1＋an2.【助学·微博】两种方法等差数列的两种证明方法：(1)定义法：证明an＋1－an＝d或an－an－1＝d(n≥2)；(2)中项公式法：证明2an＝an＋1＋an－1(n≥2)．提醒：以上两种证明方法的关键是n的范围，即是否包括了a2－a1也是相同的常数．A．4B．5C．6D．7解析a2＋a8＝2a5，∴a5＝6.答案CA．1B．9C．10D．55解析由Sn＋Sm＝Sn＋m，得S1＋S9＝S10⇒a10＝S10－S9＝S1＝a1＝1.答案A考点自测1．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于()．2．(2011·江西)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1.那么a10＝()．A．7B．15C．20D．253．(2012·重庆)在等差数列{an}中，a2＝1，a4＝5，则{an}的前5项和S5＝()．解析数列{an}的公差d＝5－12＝2，则a1＝－1，a5＝7，可得S5＝15，选B.答案BA．8B．7C．6D．5解析由a1＝1，公差d＝2得通项an＝2n－1，又Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2，所以2k＋1＋2k＋3＝24，得k＝5.答案D4．(2011·全国)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝()．答案2n－15．(2012·广东)已知递增的等差数列{an}满足a1＝1，a3＝a22－4，则an＝________.解析设等差数列{an}的公差为d，由已知得a1＝1，a3＝a1＋d2－4，即a1＝1，1＋2d＝1＋d2－4，解得a1＝1，d＝±2.由于等差数列{an}是递增的等差数列，因此a1＝1，d＝2，所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.(1)求数列{an}的公比；(2)证明：对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．[审题视点](1)利用等差数列的定义得到关系式2a3＝a5＋a4，代入等比数列的通项公式求得q；(2)利用等差数列的判断方法进行证明．考向一等差数列的判定与证明【例1】►(2012·陕西)设{an}是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5，a3，a4成等差数列．(1)解设数列{an}的公比为q(q≠0，q≠1)，由a5，a3，a4成等差数列，得2a3＝a5＋a4，即2a1q2＝a1q4＋a1q3，由a1≠0，q≠0得q2＋q－2＝0，解得q1＝－2，q2＝1(舍去)，所以q＝－2.(2)证明法一对任意k∈N＋，Sk＋2＋Sk＋1－2Sk＝(Sk＋2－Sk)＋(Sk＋1－Sk)＝ak＋1＋ak＋2＋ak＋1＝2ak＋1＋ak＋1·(－2)＝0，所以，对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．法二对任意k∈N＋，2Sk＝2a11－qk1－q，Sk＋2＋Sk＋1＝a11－qk＋21－q＋a11－qk＋11－q＝a12－qk＋2－qk＋11－q，2Sk－(Sk＋2＋Sk＋1)＝2a11－qk1－q－a12－qk＋2－qk＋11－q＝a11－q[2(1－qk)－(2－qk＋2－qk＋1)]＝a1qk1－q(q2＋q－2)＝0，因此，对任意x∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．等差数列的判定方法有以下四种：(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N+)；(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N+)；(3)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N+)；(4)前n项和公式法：Sn＝an2＋bn(a，b为常数)．但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．【训练1】在数列{an}中，a1＝35，an＝2－1an－1(n≥2，n∈N+)，数列{bn}满足bn＝1an－1(n∈N*)．(1)证明∵an＝2－1an－1(n≥2，n∈N+)，bn＝1an－1.∴n≥2时，bn－bn－1＝1an－1－1an－1－1＝12－1an－1－1－1an－1－1＝an－1an－1－1－1an－1－1＝1.又b1＝1a1－1＝－52.∴数列{bn}是以－52为首项，1为公差的等差数列．(2)解由(1)知，bn＝n－72，则an＝1＋1bn＝1＋22n－7，设函数f(x)＝1＋22x－7，易知f(x)在区间－∞，72和72，＋∞内均为减函数．∴结合函数f(x)的图象可得，当n＝3时，an取得最小值－1；当n＝4时，an取得最大值3.(1)若S5＝5，求S6及a1；(2)求d的取值范围．[审题视点]第(1)问建立首项a1与公差d的方程组求解；第(2)问建立首项a1与公差d的方程，利用完全平方公式求范围．考向二等差数列基本量的求解【例2】►设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.解(1)由题意知S6＝－15S5＝－3，a6＝S6－S5＝－8，所以5a1＋10d＝5，a1＋5d＝－8.解得a1＝7，所以S6＝－3，a1＝7.(2)因为S5S6＋15＝0，所以(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2a21＋9da1＋10d2＋1＝0，故(4a1＋9d)2＝d2－8，所以d2≥8.故d的取值范围是(－∞，－22]∪[22，＋∞)．(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．解(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3.解得d＝－2.从而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.【训练2】(2011·福建)在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(2)由(1)可知an＝3－2n.所以Sn＝n[1＋3－2n]2＝2n－n2.进而由Sk＝－35可得2k－k2＝－35.即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.又k∈N+，故k＝7为所求．(1)若a4＋a17＝20，求S20；(2)若共有n项，且前四项之和为21，后四项之和为67，前n项和Sn＝286，求n.考向三等差数列及前n项和性质的应用【例3】►在等差数列{an}中：[审题视点]利用前n项和公式Sn＝na1＋an2及等差数列的性质：若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq解题．解(1)由等差数列的性质知a1＋a20＝a4＋a17，∴S20＝202(a1＋a20)＝202(a4＋a17)＝202×20＝200.(2)依题意知：a1＋a2＋a3＋a4＝21，an＋an－1＋an－2＋an－3＝67.由等差数列的性质知：a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3，∴4(a1＋an)＝88，∴a1＋an＝22.又Sn＝na1＋an2，即286＝n×222，∴n＝26.一般地，运用等差数列的性质，可以化繁为简、优化解题过程．但要注意性质运用的条件，如m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N+)，需要当序号之和相等、项数相同时才成立．(2)已知等差数列{an}中，a3a7＝－16，a4＋a6＝0，则其n项和Sn＝________.解析(1)∵{an}为等差数列，∴S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，∴2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)．∴a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2(S6－S3)－S3＝2(36－9)－9＝45.(2)因为a4＋a6＝a3＋a7，则a3a7＝－16，a3＋a7＝0，所以a3＝4，d＝－2或a3＝－4，d＝2.所以数列的前n项和是Sn＝n2－9n或Sn＝－n2＋9n.答案(1)45(2)n2－9n或－n2＋9n【训练3】(1)已知等差数列{an}中，S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝________.方法优化8——整体思想在等差数列解题中的应用【命题研究】通过近三年的高考试题分析，考查等差数列的定义与性质、通项公式、前n项和公式，其中常常将求和公式Sn＝na1＋an2与等差数列的性质“若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq”结合来命题，考查形式主要是选择题、填空题，难度为中等．A．58B．88C．143D．176[教你审题]思路1求出首项与公差的关系式，再代入前n项和公式．思路2利用等差数列的性质从整体上求解．【真题探究】►(2012·辽宁)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝()．[一般解法]设数列{an}的公差为d，则a4＋a8＝16，即a1＋3d＋a1＋7d＝16，即a1＝8－5d，所以S11＝11a1＋11×102d＝11(8－5d)＋55d＝88－55d＋55d＝88.[答案]B[反思]优美解法就是突出了整体思想，整体思想是一种重要的解题方法和技巧，这就要求学生要灵活掌握等差数列的性质及其前n项和公式．[优美解法]由a1＋a11＝a4＋a8＝16，得S11＝11a1＋a112＝11a4＋a82＝11×162＝88.选B.【试一试】在等差数列{an}中，已知Sn＝m，Sm＝n(m≠n)，则Sm＋n＝________.解析设{an}的公差为d，则由Sn＝m，Sm＝n，得Sn＝na1＋nn－12d＝m，Sm＝ma1＋mm－12d＝n.①②②－①得(m－n)a1＋m－nm＋n－12·d＝n－m，∵m≠n，∴a1＋m＋n－12d＝－1.∴Sm＋n＝(m＋n)a1＋m＋nm＋n－12d＝(m＋n)a1＋m＋n－12d＝－(m＋n)．答案－(m＋n)