圆的参数方程

圆的参数方程在求两类三角函数最值（值域）中的运用一、知识回顾：圆的参数方程。①：rCosxrSinyryx222[P（x，y）为圆O（0，0）上任意一点，∠POX=θ。］②：222)()(rbyaxrCosaxrSinby[P（x，y）为圆'O（a，b）上任意点，∠''XPO。］由于曲线的参数方程因参数选择的不同而发生形式上的差异，上述圆的参数方程又可分别表示为：rSinaxrCosbyrSinxrCosy;。注意到这里，而22k（Zk），上述圆的参数方程还可写成别的与之对应的形式，如：rCosaxrSinbyrCosxrSiny;[)(2Zkk]。由圆的参数方程的不同表现形式，深化对参数方程实质的理解。二、问题的切入：圆的参数方程形式与三角函数问题紧密联系起来了。因此三角函数中的某些问题是否可以借鉴解几中圆的相关知识求解，以下从解几的角度分析两类三角函数最值（值域）问题。例1：求22cos3cossin6sin的最值。解析：容易化为12cos22sin3，令2cos2sinxy，关键在于求xOYPxOYP'x'Oxy232cos22sin3的最值。注意到2cos2sinxy为圆122yx的参数方程。取3,332,23ttxyxyt表示一族平行于直线xy32的直线在y轴上的截距（0t）。由圆心到直线的距离小于等于半径显然易得,1313t故所求最大值为113，最小值为113，从而问题获解。提问：若用方程思想，该作何求解？（由122yx，,23xyt即1)332(22txx有解，由判别式大于等于零易得,1313t得之。）学生以前学过“求函数22cos3cossin2sin的最值”问题，例1是这一问题的变形和深化。由这一熟悉的三角函数最值问题，诱导学生寻求别的解题思路。这一问题设置实现了过去（三角函数最值问题）、现在（圆的参数方程及直线与圆的位置关系）、未来（椭圆的参数方程及直线与椭圆的位置关系）的时间跨越，并以此为契机，调动学生思维，使其在新旧知识的穿梭中实现知识点的网络化，提高数学思维品质。“简单问题的复杂化，复杂问题的简单化”是一种有利于培养学生解题能力的教学策略。后者通常可以接受，但前者似为荒诞。然而，通过艰难的探寻而最终获得解答的方法教学对学生造成的心理愉悦比直接告知以结果要浓烈得多。这一愉悦的心理又是学生对数学产生兴趣的重要前提。教师应有效地通过学科教学培养学生坚韧不拔、锲而不舍的人生态度和精神。另外，通过这一例题可实现“简单问题复杂化”过程，有利于迅速切入主题。方法的提升总结：)0(cossinabba型函数最值（值域）的求法。例2：求cos32sin3的值域。分析一：cos32sin3的几何意义表示过点sin3,2(）、)0,cos3(的直线之斜率（斜率存在）。而该两点均为动点，讨论不便。分析二：cos32sin3的几何意义表示过点Psin3,cos3(）、A)0,2(的直线斜率，且易知该直线斜率必存在。而点P在圆：cos3sin3xy（圆心在原点，半径为3）上。易知],3,3[APk便得所求值域。（通过直观图演示，反应了直线与圆的位置关系：直线的倾斜角与斜率的变化规律。）分析三：cos32sin3可理解为过点)sin3,2cos3(与（0，0）的直线的斜率（斜率存在）。而点)sin3,2cos3(在圆2cos3sin3xy（圆心在（2，0），半径为3）上。同样可得所求值域为].3,3[分析四：若直接令,cossinxycos32sin3=.332233xyxy其几何意义表示过点（x，y）与)0,332(的直线的斜率（斜率存在）。而（x，y）在单位圆122yx上，所求值域易得。提问：在不改变结论的前提下，还可将题干改成哪些形式？思考：;2cos3sin32cos3sin3；;2sin3cos3cos32sin3的值域有何关系？（相等。因cos3sin3xy；cos3sin3xy；cos3sin3xy；sin3cos3xy均表示圆322yx的参数方程，当然，处理时可作如下变形：OXYAP2cos3sin3=2cos3sin3；2cos3sin3=2cos3sin3，进而通过分析2cos3sin3；2cos3sin3的值域而获解。）方法的提升：cxabxaycossin或)0(sincosacxabxay型函数最值（值域）问题的求法。