沪科版九年级数学下册课件：24.3.1-圆周角定理及推论

导入新课讲授新课当堂练习课堂小结24.3圆周角第1课时圆周角定理及推论第24章圆学习目标1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解决简单的几何问题.（重点、难点）3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用.（难点）导入新课复习引入3.下列命题是真命题的是()①在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等；②相等的圆心角所对的弧相等③圆既是轴对称图形,又是中心对称图形A.①②B.①③C.②③D.①②③1.圆心角的定义?答：相等.答:顶点在圆心的角叫圆心角.2.圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系?B如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面示意图,人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗观看窗内的海洋动物,同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角(∠AOB和∠ACB)有什么关系?如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角（∠ADB和∠AEB）和同学乙的视角相同吗？观察图中∠ACB、∠ADB和∠AEB与我们学过的圆心角有什么区别？情境引入讲授新课圆周角的概念一互动探究问题1圆心角顶点发生变化时,我们得到几种情况?思考：三个图中的∠BAC的顶点A各在圆的什么位置？角的两边和圆是什么关系？定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.（两个条件必须同时具备，缺一不可）知识要点·COAB·COB·COBAA·COAB·COB·COBAA判一判：下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由.（2）（1）（3）（5）（6）顶点不在圆上顶点不在圆上边AC没有和圆相交√√√圆周角定理二合作探究D问题1如图，点A、B、C、D都是☉O上的点，请问图中哪些是圆周角？哪些是圆心角?圆心角：∠BOC圆周角：∠BAC，∠BDC问题2分别量出这些角的度数，你有什么发现？∠BAC=∠BDC∠BOC=2∠BAC问题3变动点D的位置，看看弧BC所对的圆周角的度数有没有变化？你能得出什么结论？DDD变动点D的位置，圆周角的度数没有变化，并且圆周角的度数恰好为同弧所对的圆心角的度数的一半.圆心O在∠BAC的内部圆心O在∠BAC的一边上圆心O在∠BAC的外部推导验证圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）OA=OC∠A=∠C∠BOC=∠A+∠C12BACBOCOABDOACDOABCD圆心O在∠BAC的内部OACDOABD12BADBOD12DACDOC11()22BACBADDACBODDOCBOC12DACDOC12DABDOBOABDCOADCOABDCOADOABDCOADOABD1()212BACDACDABDOCDOBBOC圆心O在∠BAC的外部知识要点一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.圆周角定理几何语言：如图，点A，B，C是☉O上的点，连接AB，AC，OB，OC，则12BACBOC典例精析AOBC∴∠ACB=2∠BAC证明：例1如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC.求证：∠ACB=2∠BAC.1,2ACBAOB1,2BACBOC∠AOB=2∠BOC，圆周角定理的推论三问题1如图，OB，OC都是⊙O的半径，点A,D是上任意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC相等吗？请说明理由.D互动探究1,2BACBOC1,2BDCBOC∴∠BAC=∠BDC相等DABOCEF问题2如图，若∠A与∠B相等吗？CDEF，CDEF，相等.CODEOF1122ACODBEOF，，.AB想一想：(1)反过来，若∠A=∠B，那么成立吗？CDEF(2)若CD是直径，你能求出∠A的度数吗？推论1在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等.知识要点圆周角定理推论DABOCEFCDEFAB几何语言推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.AOBC1C2C3∵AB是直径∴∠AC1B=90°∵∠AC1B=90°∴AB是直径.几何语言典例精析例2如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点P,∠ACD=60°,∠ADC=70°.求∠APC的度数..OADCPB解:连接BC,则∠ACB=90°,∠DCB＝∠ACB－∠ACD＝90°－60°=30°.又∵∠BAD=∠DCB=30°,∴∠APC=∠BAD＋∠ADC＝30°＋70°＝100°.例3如图，☉O直径AC为10cm，弦AD为6cm.（1）求DC的长；（2）若∠ADC的平分线交☉O于B,求AB、BC的长．B解：(1)∵AC是直径，∴∠ADC=90°.在Rt△ADC中，22221068cm);DCACAD（在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，(2)∵AC是直径,∴∠ABC=90°.∵BD平分∠ADC,∴∠ADB=∠CDB.又∵∠ACB=∠ADB,∠BAC=∠BDC.∴∠BAC=∠ACB,∴AB=BC.221052(cm).22ADBCACB解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，通常考虑构造直角三角形来求解.方法归纳当堂练习1.判断（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等（）（2）相等的弦所对的圆周角也相等（）（3）900的角所对的弦是直径（）（4）同弦所对的圆周角相等（）√×××2.如图，AB是☉O的直径,C、D是圆上的两点,∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿_.50°3.已知△ABC的三个顶点在☉O上,∠BAC=50°,∠ABC=47°,则∠AOB=．ABOCD第2题BACO第3题166°4.如图，点B，C在⊙O上，且BO=BC，则圆周角∠BAC等于（）DA.60°B.50°C.40°D.30°ABCO4.如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为（）A.30°B.40°C.50°D.60°A【规律方法】解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理.如图，分别求出图中∠x的大小.60°x30°20°x解：(1)∵同弧所对圆周角相等，∴∠x=60°.ADBEC(2)连接BF，F∵同弧所对圆周角相等，∴∠ABF=∠D=20°，∠FBC=∠E=30°.∴∠x=∠ABF+∠FBC=50°.拓展提升：如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,(1)BD与CD的大小有什么关系?为什么?(2)求证：.BDDEABCDE∵AB是圆的直径，点D在圆上，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD,AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD，（同圆或等圆中相等的圆周角所对弧相等）.解:BD=CD.理由是:连接AD,BDDE课堂小结圆周角定义定理推论1.顶点在圆上；2.两边都与圆相交的角二者必须同时具备一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等.