(完整word)第八章向量代数与空间解析几何教案(同济大学版高数)

1第八章向量代数与空间解析几何第一节向量及其线性运算教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。教学重点：1.空间直角坐标系的概念2.空间两点间的距离公式3.向量的概念4.向量的运算教学难点：1.空间思想的建立2.向量平行与垂直的关系教学内容：一、向量的概念1．向量：既有大小，又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。2．量的表示方法有:a、i、F、OM等等。3．向量相等ba：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全重合的向量）。4．量的模：向量的大小，记为a、OM。模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。5．量平行ba//：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。6．负向量：大小相等但方向相反的向量，记为a二、向量的线性运算1．加减法cba：加法运算规律：平行四边形法则（有时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7－4abc22．cba即cba)(3．向量与数的乘法a：设是一个数，向量a与的乘积a规定为0)1(时，a与a同向，||||aa0)2(时，0a0)3(时，a与a反向，||||||aa其满足的运算规律有：结合率、分配率。设0a表示与非零向量a同方向的单位向量，那么aaa0定理1：设向量a≠0，那么，向量b平行于a的充分必要条件是：存在唯一的实数λ，使b＝a例1：在平行四边形ABCD中，设aAB，bAD，试用a和b表示向量MA、MB、MC和MD，这里M是平行四边形对角线的交点。（见图7－5）图7－4解：AMAC2ba，于是)(21baMA由于MAMC，于是)(21baMC又由于MDBD2ba，于是)(21abMD由于MDMB，于是)(21abMB三、空间直角坐标系1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如图7－1，其符合右手规则。即以右手握住z轴，当右手的四个手指从正向x轴以2角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向。32．间直角坐标系共有八个卦限，各轴名称分别为：x轴、y轴、z轴，坐标面分别为xoy面、yoz面、zox面。坐标面以及卦限的划分如图7－2所示。图7－1右手规则演示图7－2空间直角坐标系图图7－3空间两点21MM的距离图3．空间点),,(zyxM的坐标表示方法。通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应起来。注意：特殊点的表示a)在原点、坐标轴、坐标面上的点；b)关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法。4．空间两点间的距离。若),,(1111zyxM、),,(2222zyxM为空间任意两点，则21MM的距离（见图7－3），利用直角三角形勾股定理为：2222122212212NMpNpMNMNMMMd而121xxPM12yyPN122zzNM所以21221221221)()()(zzyyxxMMd特殊地：若两点分别为),,(zyxM，)0,0,0(o222zyxoMd例1：求证以)1,3,4(1M、)2,1,7(2M、)3,2,5(3M三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。证明:14)21()13()74(222221MM6)23()12()75(222232MM6)13()32()45(222213MM4由于1332MMMM，原结论成立。例2：设P在x轴上，它到)3,2,0(1P的距离为到点)1,1,0(2P的距离的两倍，求点P的坐标。解：因为P在x轴上，设P点坐标为)0,0,(x113222221xxPP21122222xxPP212PPPP221122xx1x所求点为：)0,0,1(，)0,0,1(四、利用坐标系作向量的线性运算1．向量在坐标系上的分向量与向量的坐标通过坐标法，使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对应关系，同样地，为了沟通数与向量的研究，需要建立向量与有序数之间的对应关系。设a=21MM是以),,(1111zyxM为起点、),,(2222zyxM为终点的向量，i、j、k分别表示图7－5沿x，y，z轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量，由图7－5，并应用向量的加法规则知：)(1221xxMMi+)(12yyj+)(12zzk或a=axi+ayj+azk上式称为向量a按基本单位向量的分解式。有序数组ax、ay、az与向量a一一对应，向量a在三条坐标轴上的投影ax、ay、az就叫做向量a的坐标，并记为a＝{ax，ay，az}。上式叫做向量a的坐标表示式。于是，起点为),,(1111zyxM终点为),,(2222zyxM的向量可以表示为5},,{12121221zzyyxxMM特别地，点),,(zyxM对于原点O的向径},,{zyxOM注意：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。向量a在坐标轴上的投影是三个数ax、ay、az，向量a在坐标轴上的分向量是三个向量axi、ayj、azk.2．向量运算的坐标表示设},,{zyxaaaa，},,{zyxbbbb即kjiazyxaaa，kjibzyxbbb则(1)加法：kjiba)()()(zzyyxxbababa◆减法：kjiba)()()(zzyyxxbababa◆乘数：kjia)()()(zyxaaa◆或},,{zzyyxxbabababa},,{zzyyxxbabababa},,{zyxaaaa◆平行：若a≠0时，向量ab//相当于ab，即},,{},,{zyxzyxaaabbb也相当于向量的对应坐标成比例即zzyyxxababab五、向量的模、方向角、投影设},,{zyxaaaa，可以用它与三个坐标轴的夹角、、（均大于等于0，小于等于）来表示它的方向，称、、为非零向量a的方向角，见图7－6，其余弦表示形式coscoscos、、称为方向余弦。61．模222zyxaaaa2．方向余弦由性质1知coscoscoscoscoscos212121aaaMMaMMaMMazyx，当0222zyxaaaa时，有222222222coscoscoszyxzzzyxyyzyxxxaaaaaaaaaaaaaaaaaa◆任意向量的方向余弦有性质：1coscoscos222◆与非零向量a同方向的单位向量为：}cos,cos,{cos},,{1zyxaaaaaaa0例：已知两点M1(2,2,2)、M2(1,3,0)，计算向量21MM的模、方向余弦、方向角以及与21MM同向的单位向量。解：21MM＝{1-2，3-2，0-2}={-1，1，-2}2)2(1)1(22221MM21cos，21cos，22cos32，3，43设0a为与21MM同向的单位向量，由于}cos,cos,{cos0a即得}22,21,21{0a3．向量在轴上的投影7(1)轴上有向线段的值：设有一轴u，AB是轴u上的有向线段，如果数满足AB，且当AB与轴u同向时是正的，当AB与轴u反向时是负的，那么数叫做轴u上有向线段AB的值，记做AB，即AB。设e是与u轴同方向的单位向量，则eAB(2)设A、B、C是u轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有BCABAC(3)两向量夹角的概念：设有两个非零向量a和b，任取空间一点O，作aOA，bOB，规定不超过的AOB称为向量a和b的夹角，记为),(ba(4)空间一点A在轴u上的投影：通过点A作轴u的垂直平面，该平面与轴u的交点'A叫做点A在轴u上的投影。(5)向量AB在轴u上的投影：设已知向量AB的起点A和终点B在轴u上的投影分别为点'A和'B，那么轴u上的有向线段的值''BA叫做向量AB在轴u上的投影，记做ABjuPr。2．投影定理性质1：向量在轴u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：cosPrABABju性质2：两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和，即2121aaaajjjuPrPr)(Pr性质3：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。即aajjuPr)(Pr小结：本节讲述了空间解析几何的重要性以及向量代数的初步知识，引导学生对向量（自由向量）有清楚的理解，并会进行相应的加减、乘数、求单位向量等向量运算，空间直角坐标系（轴、面、卦限），空间两点间距离公式。本节介绍了向量在轴上的投影与投影定理、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标（注意分向量与向量的坐标的区别）、向量的模与方向余弦的坐标表示式等概念。8作业：9第二节数量积向量积教学目的：让学生搞清楚数量积与向量积的概念及其应用，掌握向量平行、垂直等重要的结论，为空间曲面等相关知识打好基础。教学重点：1.数量积、向量积的概念及其等价的表示形式2.向量平行、垂直的应用教学难点：1.活学活用数量积、向量积的各种形式2.向量平行与垂直的相应结论教学内容：一、数量积：a)定义：cosbaba，式中为向量a与b的夹角。b)物理上：物体在常力F作用下沿直线位移s，力F所作的功为cossFW其中为F与s的夹角。c)性质：Ⅰ.2aaaⅡ.两个非零向量a与b垂直ba的充分必要条件为：0baⅢ.abbaⅣ.cbcacba)(Ⅴ.)()(caca为数d)几个等价公式：Ⅰ.坐标表示式：设},,{zyxaaaa，},,{zyxbbbb则zzyyxxbabababaⅡ.投影表示式：abbababajjPrPrⅢ.两向量夹角可以由babacos式求解e)例子：已知三点M(1,1,1)、A(2,2,1)和B(2,1,2)，求AMB10提示：先求出向量MA及MA，应用上求夹角的公式。二、向量积：a)概念：设向量c是由向量a与b按下列方式定义：c的模sinbac，式中为向量a与b的夹角。c的方向垂直与a与b的平面，指向按右手规则从a转向b。※注意：数量积得到的是一个数值，而向量积得到的是向量。b)公式：bacf)性质：Ⅰ.0aaⅡ.两个非零向量a与b平行a∥b的充分必要条件为：0baⅢ.abbaⅣ.cbcacba)(Ⅴ.)()()(cacaca为数c)几个等价公式：Ⅰ.坐标表示式：设},,{zyxaaaa，},,{zyxbbbb则kjiba)()()(xyyxzxxzyzzybabababababaⅡ.行列式表示式：zyxzyxbbbaaakjibad)例子：已知三角形ABC的顶点分别为：A(1,2,3)、B(3,4,5)和C(2,4,7)，求三角形ABC的面积。解：根据向量积的定义，ACABCACABSABC21sin21由于AB＝{2,2,2}，AC＝{1,2,4}因此kjikji264421222ACAB于是142)6(42121222ACABSABC11小结：向量的数量积（结果是一个数量）向量的向量积（结果是一个向量）（注意共线、共面的条件）作业：12第三节平面及其方程教学目的：介绍最简单也是非常常用的一种曲面——平面，平面是本书非常重要的一节，本节让学生了解平面的各种表示方法，学生在学