平面向量数量积及运算律教案

平面向量的数量积及运算律教案课题：平面向量的数量积及运算律◆一、教学目标▼（一）知识目标1平面向量数量积的定义及几何意义；2平面向量数量积的运算律；3平面向量数量积的5个重要性质。▼（二）能力目标1．掌握数量积的定义、5个重要性质及运算律；2．能应用数量积的5个重要性质及运算律解决问题；3．了解用平面向量数量积可以解决长度、角度、垂直共线等问题，为下节课灵活运用平面向量数量积解决问题打好基础。▼（三）情感目标创设适当的问题情境，从生活中的常见现象引入课题，开始就激发学生的学习兴趣，让学生容易切入课题，培养学生用数学的意识，体现新课程改革的理念之一，加强数学与其它学科及生活实践的联系。◆二、教学难点平面向量数量积运算律的理解；与实数运算律的区别和联系；平面向量数量积在解决长度、角度等问题的运用。◆三、教学重点平面向量数量积的定义和运算律的应用。◆四、教学手段在多媒体环境下，老师引导、启发和激励学生大胆参与活动和讨论的民主式的教学。◆五、教学过程●问问题题一个物体在力F的作用下产生的位移s，且F与s的夹角为θ,那么力F所做的功应当怎样计算？||||sFW其中力F和位移s是向量，是F与s的夹角，而功是数量.数量cossF叫做力F与位移s的数量积●向量的夹角两个非零向量和，作AC=，BC=，则AOB（180）叫做向量和的夹角。FSθbaOAaBb注意:在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的与同向与反向与反向记作ba●例1、如图，等边三角形中，求（1）AB与AC的夹角；（2）AB与BC的夹角。通过平移变成共起点！5.6平面向量的数量积及运算律平面向量的数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，我们把数量cos||||ba叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b，即cos||||baba规定：零向量与任意向量的数量积为0，即0a0．（1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定（2）一种新的运算法则，以前所学的运算律、性质不适合．（3）a·b不能写成a×b，a×b表示向量的另一种运算．5.6平面向量的数量积及运算律例题讲解例1．已知向量a与b的夹角为，|a|=2，|b|=3，，求a·b.baba3)2(135)1(0∥a·b=|a||b|cosθ平面向量的数量积讨论总结性质：（1）e·a=a·e=|a|cos（2）a⊥ba·b=0(判断两向量垂直的依据)（3）当a与b同向时，a·b=|a|·|b|，当a与b反向时，a·b=-|a|·|b|．特别地aaaaaa||||2或0OABab180OABab90OABab（4）||||cosbaba（5）a·b≤|a|·|b|练练习习：：1．若a=0，则对任一向量b，有a·b=0．√2．若a≠0，则对任一非零向量b,有a·b≠0．×3．若a≠0，a·b=0，则b=0×4．若a·b=0，则a·b中至少有一个为0．×5．若a≠0，a·b=b·c，则a=c×6．若a·b=a·c,则b≠c,当且仅当a=0时成立×．7．对任意向量a有22||aa√8.aa00×例2、如图，等边三角形中，求（1）ACAB与的数量积；（2）BCAB与的数量积；（3）BCAC与的数量积.例3平面向量的数量积及运算律1．a·b=b·a交换律2.(λ·a)b=a·(λb)=λ(a·b)=λa·b3.(a+b)·c=a·c+b·c分配律思考:结合律成立吗:(a·b)·c=a·(b·c)?物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方向上的力做功．bOBaOA，作，过点B作1BB垂直于直线OA，垂足为，则1OB|b|cosθ其中|b|cosθ叫向量b在a方向上的投影。ABCFSθBbBbθ为锐角时，|b|cosθ＞0θ为钝角时，|b|cosθ＜0θ为直角时，|b|cosθ=0平面向量的数量积及运算律讨论总结性质：a·b=|a||b|cosθ)1800(（1）e·a=a·e=|a|cos（2）a⊥ba·b=0(判断两向量垂直的依据)（3）当a与b同向时，a·b=|a|·|b|，当a与b反向时，a·b=—|a|·|b|．特别地aaaaaa||||2或（4）||||cosbaba（5）a·b≤|a|·|b|运算律◆六、课后反思和巩固◆对数量积的运算律的证明思考和阅读OAa1BOAa1BOABab)(1B