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重积分1·二重积分（1）二重积分定义设二元函数定义在有界闭区域上，将区域任意分成个子域，并以表示第个子域的面积。在上任取一点作和。如果当各个子域的直径中的最大值趋于零时，此和式的极限存在,则称此极限为函数在区域上的二重积分，记为，即这时，称在上可积，其中称被积函数，称为被积表达式，称为面积元素，称为积分域，称为二重积分号。（2）二重积分的性质性质1（积分可加性）函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差），即∫∫[f(x,y)±g(x,y)]dσ=∫∫f(x,y)dσ±∫∫g(x,y)dσ性质2（积分满足数乘）被积函数的常系数因子可以提到积分号外，即∫∫kf(x,y)dσ=k∫∫f(x,y)dσ(k为常数）性质1与性质2合称为积分的线性性。性质3如果在区域D上有f(x,y)≦g(x,y),则∫∫f(x,y)dσ≦∫∫g(x,y)dσ推论∣∫∫f(x,y)dσ∣≦∫∫∣g(x,y）∣dσ性质4设M和m分别是函数f(x,y)在有界闭区间D上的最大值和最小值，σ为区域D的面积，则mσ≦∫∫f(x,y)dσ≦Mσ性质5如果在有界闭区域D上f(x,y)=1,σ为D的面积，则Sσ=∫∫dσ性质6二重积分中值定理设函数f(x,y)在有界闭区间D上连续，σ为区域的面积，则在D上至少存在一点（ξ，η），使得∫∫f(x,y)dσ=f(ξ，η）●σ（3）二重积分计算2·三重积分（1）三重积分的定义设三元函数z=f(x,y,z）定义在有界闭区域Ω上将区域Ω任意分成n个子域Δvi(i=123…，n）并以Δvi表示第i个子域的体积.在Δvi上任取一点（ξiηiζi）作和（n/i=1Σ（ξiηiζi）Δvi）.如果当各个子域的直径中的最大值λ趋于零时，此和式的极限存在，则称此极限为函数f(x,y,z）在区域Ω上的三重积分，记为∫∫∫f(x,y,z)dv，即∫∫∫f(x,y,z)dv=limλ→0（n/i=1Σf（ξi，ηi，ζi）Δvi），其中dv叫做体积元素。（2）三重积分的性质性质1线性性质：设α、β为常数，则∫∫∫[αf(x,y,z)+βg(x,y,z)]dv=α∫∫∫f(x,y,z)dv+β∫∫∫g(x,y,z)]dv。性质2如果空间闭区域G被有限个曲面分为有限个子闭区域，则在G上的三重积分等于各部分闭区域上三重积分的和。性质3如果在G上，且f(x,y,z）═1，v为G的体积，则v═∫∫∫1dv═∫∫∫dv.性质4如果在G上，f(x,y,z）≤φ（xyz），则有，∫∫∫f(xyz)dv≤∫∫∫φ（x,y,z)dv，特殊地，∫∫∫f(x,y,z)dv∣≤∫∫∫f(x,y,z)dv.性质5设M、m分别为f(x,y,z）在闭区域G上的最大值和最小值，v为G的体积，则有mv≤∫∫∫f(x,y,z)dv≤Mv.性质6设函数f(x,y,z）在闭区域G上连续，v是G的面积，则在G上至少存在一个点（ζ，η，μ）使得∫∫∫f(x,y,z)dv=f（ζ，η，μ）v（3）三重积分的计算