常见分布的期望与方差的计算

1.0－1分布qpXE⋅+⋅=01)(Xp01pp−1已知随机变量X的分布律为则有,p=22)]([)()(XEXEXD−=222)1(01ppp−−⋅+⋅=.pq=ppq常见分布的期望与方差的计算这些分布的期望和方差要求同学们熟记，以下是计算过程，供课下看。2.二项分布设随机变量X服从参数为n,p二项分布,(法一)设Xi为第i次试验中事件A发生的次数，则∑==niiXX1显然，Xi相互独立均服从参数为p的0－1分布，ni,,2,1=.)1()()(.)()(11∑∑==−====niiniipnpXDXDnpXEXE所以),,,2,1,0(,)1(}{nkppknkXPknk=−⎟⎠⎞⎜⎝⎛==−则有}{)(0kXPkXEnk=⋅=∑=knknkppknk−=−⎟⎠⎞⎜⎝⎛=∑)1(0(法二)X的分布律为knknkppknkkn−=−−=∑)1()!(!!0)1()1(11)1()]!1()1[()!1()!1(−−−−=−−−−−−=∑knknkppknknnp1)]1([−−+=nppnp)1()1(11)1()]!1()1[()!1()!1(−−−−=−−−−−−=∑knknkppknknnpnp=])1([)(2XXXEXE+−=)()]1([XEXXE+−=npppnkkkknknk+−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−=∑)1()1(0npppknknkkknknk+−−−=−=∑)1()!(!!)1(0npppkknnpnnknknk+−−−−−=−−−−=∑)2()2(222)1()!2()!()!2()1(nppppnnn+−+−=−22)]1([)1(.)(22nppnn+−=22)]([)()(XEXEXD−=222)()(npnppnn−+−=)1(pnp−=3.泊松分布.0,,2,1,0,e!}{===−λλλkkkXPk则有∑∞=−⋅=0e!)(kkkkXEλλ∑∞=−−⋅−=11)!1(ekkkλλλλλλee⋅=−且分布律为设),(π~λXλ=])1([)(2XXXEXE+−=)()]1([XEXXE+−=∑∞+=−+⋅−=0e!)1(kkkkkλλλ∑∞+=−−+−⋅=222)!2(ekkkλλλλλλλλ+=−ee2.2λλ+=所以22)]([)()(XEXEXD−=22λλλ−+=.λ都等于参数泊松分布的期望和方差λ=4.均匀分布则有xxxfXEd)()(∫∞∞−=∫−=baxxabd1⎪⎩⎪⎨⎧−=.,0,,1)(其他bxaabxf其概率密度为设,),(~baUX).(21ba+=22)]([)()(XEXEXD−=222d1⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−−=∫baxabxba12)(2ab−=5.指数分布.0.0,0,0,e1)(,⎪⎩⎪⎨⎧≤=−θxxθxfXθx其中其概率密度为服从指数分布设随机变量则有xxxfXEd)()(∫∞+∞−=xθxθxde10∫∞+−⋅=xxθxθxdee00∫∞+−∞+−+−=θ=22)]([)()(XEXEXD−=202de1θxθxθx−⋅=∫∞+−222θθ−=2θ=6.正态分布其概率密度为设),,(~2σμNX则有xxxfXEd)()(∫∞+∞−=.deπ21222)(xσxσμx−−∞+∞−∫⋅=tσμx=−令,tσμx+=⇒.,0,eπ21)(222)(+∞∞−=−−xσσxfσμx.μ=ttσtμttdeπ2deπ212222∫∫∞+∞−−∞+∞−−+=xσxXEσμxdeπ21)(222)(−−∞+∞−∫⋅=所以tσtμtde)(π2122−∞+∞−∫+=μ.deπ21)(222)(2xσμxσμx−−∞+∞−∫⋅−=xxfμxXDd)()()(2∫∞+∞−−=得令,tσμx=−ttσXDtdeπ2)(2222∫∞+∞−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=∫∞+∞−−∞+∞−−ttσttdeeπ222222π2π202σ+=.2σ=2σ10pp)1(pp−10,1≥pnnp)1(pnp−0λλλba2)(ba+12)(2ab−0θθ2θ分布参数数学期望方差两点分布二项分布泊松分布均匀分布指数分布正态分布0,σμμ2σ