微分方程及其定解条件、等效积分

这一部分里，我们将看到以下内容几个典型物理问题及其数学描述（微分方程和定解条件）微分方程的类型微分方程的边界条件微分方程及其边界条件的等效积分原理几个典型的问题弦振动问题的微分方程及定解条件传热问题的微分方程及定解条件位势方程及定解条件弦是一种抽象模型，工程实际中，可以模拟绳锁、电缆等结构，如远距离输电线路、一些桥梁的悬索、拉锁等；几何上可以用一条线段（不一定是直线段）来表示弦。这里所说的弦的振动是弦的微小横振动，一定长度的、柔软、均匀的弦，两端拉紧，在垂直于弦线的外力下做微小横振动，弦的运动发生在同一平面内，弦的各点位移与平衡位置垂直x,uxt弦的长度l，线密度为，弦的张力为TO弦振动的微分方程为：22222uuaftx2/aTf是垂直于平衡位置的外力这个微分方程虽然描述了弦振动时各点的运动状态，但单纯依靠这个微分方程，我们还不能唯一确定弦的振动，必须给出定解条件，定解条件主要有两种，一种是初始时刻弦的运动状态，称为初始条件：,00,00uxxxluxxxlt初始时刻各点的位移初始时刻各点的速度另外一种定解条件是边界条件，对于弦振动问题来说给定弦的两个端点的运动规律，一般来说边界条件有三种：第一种给定弦端点的位移120,,utgtultgt第二种给定位移梯度的端点值0,,uttxulttx位移的梯度表示弦线的挠度第三种边界条件是端点的位移和速度的线性组合是一个已知函数，对于弦振动010,0,,,uTtkuttxuTltkulttx这个边界条件的物理意义是，弦的端点固定在两个弹性支撑上，两个弹性支撑的弹性系数为：k0，k1以上是弦振动的数学模型，是由微分方程与相应的定解条件（初值条件，边值条件）共同组成的，这一样问题又称为混合初边问题。定解条件中只有初值条件的问题称为初值问题。定解条件中只有边值条件的，称为边值问题。下面来看第二个典型问题：热传导问题三维非定常热传导问题的微分方程为：0TTTTckkkftxxyyzzck0f物体的比热容物体的密度物体的热传导系数物体内部热源强度与弦振动问题类似，要想确定物体内部的温度场，除了上面那个微分方程以外，还需要定解条件，定解条件也包括两种：初值条件和边值条件初值条件，是初始时刻物体的温度场0,,tTxyz边值条件也有三种第一种：给定边界的温度,,Txyz第二种：给定边界的热流量,,,Txyztn第三种：给定边界的热流量和温度线性组合,,ThTxyznxyzTTTTTnnnnxyzn下面来看第三个典型问题：位势方程在三维热传导问题中，如果温度不随时间变化，即定常热传导，三维热传导方程可以写为00TTTkkkfxxyyzz假定物体是均匀的，那么这个方程可以进一步简化222222TTTgxyz这个方程又称为泊松（Poisson）方程再进一步，如果均匀物体中没有热源，稳态热传导方程为2222220TTTxyz这就是我们熟悉的拉普拉斯方程（Laplace）以上给出的是泊松方程和拉普拉斯方程在笛卡尔坐标系下的形式，下面给出它们的算子形式，它们在其它坐标也成立系2TTg20TT泊松方程拉普拉斯方程其中，在笛卡尔坐标系下：xyzijk称为哈密顿（Hamilton）算子2222222xyz称为拉普拉斯算子从上面的算子表达式，再回忆我们学过的高等数学的知识，哈密顿算子运算的结果，是一个标量场的梯度是一个向量场，而反过来说，如果一个向量场是一个标量场的梯度，这个向量场称为有势场，这个标量场称为有势场的位势场或位势函数在定常热传导问题中，温度场的梯度为TTTTxyzijk也就是说，这个向量场是温度场的梯度，是一个有势场而温度场是这个有势场的位势场或位势函数，这就是泊松方程和拉普拉斯方程称为位势方程的原因现在我们来看位势方程的定解条件。由于待求变量与时间无关，不需要初值条件因此位势方程的定解条件类似三维热传导方程的三种边界条件，,,Txyz,,,Txyztn,,ThTxyzn现在我们来回顾一下刚才介绍的几个微分方程22222uuaftx0TTTTckkkftxxyyzz222222TTTgxyz2222220TTTxyz第一个微分方程，方程两边微分的最高阶数都是2，如果做移项整理22222uuaftx这个方程的形式和双曲线方程的形式很类似2222xycab这类的方程又称为双曲型微分方程再看第二个方程，现在加上物体均匀，为了几何上更直观这个方程可以，我们写出一维的情况202TTckftx这个方程形式和抛物线方程形式类似2yaxc这类方程又称为抛物型微分方程最后再看位势方程，为了几何直观，我们写成二维的情况2222TTgxy这个方程形式和椭圆方程形式类似22221xyab这类方程又称为椭圆型微分方程微分方程主要就分为这三个类型：抛物型；双曲型；椭圆型请大家注意，我们并不是要讨论三种类型的微分方程的准确定义。准确的定义，大家可以参考数学物理方程的有关书籍和资料有限元方法特别适合求解椭圆微分方程或方程组。现在来总结一下边界条件，我们看到，在以上的三个典型问题的微分方程中，给定的边界条件都有三种：第一种是给定待求函数在边界处的数值，这种边界条件称为第一边界条件、Direchlet边界条件、强制边界条件第二种是给定待求函数在边界处梯度或方向导数，这种边界条件称为第二边界条件、Neumann边界条件第三种是给定边界上待求函数及其方向导数的线性组合，这种边界条件称为第三边界条件我们总结一下这一小节的内容描述物理过程的微分方程主要分为三个类型：椭圆型、双曲型、抛物型有限元法特别适合求解椭圆型微分方程边界条件主要有三种：第一边界条件（Direchlet条件、强制边界条件）、第二边界条件（Neumann条件）和第三边界条件思考题：这小节中，三维热传导问题的微分方程和位势方程、以及哈密顿算子给出的都是笛卡尔坐标下的形式，试查阅资料，并推导这些微分方程和算子在柱坐标和球坐标系下的表达式。拓展前面我们看到了三个典型问题的微分方程，实际中遇到的、使用的、包括我们自己在分析问题时建立的微分方程是非常多的，为了便于研究，我们采用一种符号表示法来表示微分方程，例如：0A这个表达式代表任意一个微分方程，就像我们用f(x)表示任意函数的道理一样,同样，边界条件我们也可以用符号表达0B例如，在一个平面区域内的拉普拉斯方程22220xy并且有边界条件022220Axy0B这是一个微分方程和一个边界条件，单个待求函数的情况，这种表示方法也可以拓展到微分方程组，多个待求函数和多个边界条件的情况。可以用向量符号来表示待求解函数、微分方程组和边界条件T12,,,nuuuu带求解函数向量微分方程组向量TT12,,,[0]mmAAAAuuuu边界条件向量TT12,,,[0]kkBBBBuuuu例如，在一个平面区域内的拉普拉斯方程22220xy现在边界条件有两个，在一部分边界上给定函数值，另一部分的边界上给定函数方向导数，这样22220xyA00qkqnB了解微分方程的抽象数学表达对理论研究是很有帮助的，因为在研究微分方程的一般性质或推导一些微分方程的一般规律时，我们不可能对每个微分方程都推导一遍，这时抽象表达是就发挥重要作用了。下面我们就将见到一种微分方程的普遍规律或者说普遍的变换形式——等效积分形式虽然是要推导一个普遍规律，但为了便于说明，我们还是从一个简单的特例出发，这个特列就是刚才提到的二维拉普拉斯方程及其边界条件22220xyA00qkqnB这个二维拉普拉斯方程的求解域是一个平面区域xy在求解域内的一个小区域内拉普拉斯方程也是成立的，也就是22220[]xyxy如果方程两边同时乘以这个小区域的面积，结果会是这样222222220[]Sxyxyxyxy设想把求解域划分成若干个小区域，也就是说求解域的面积等于这些小区域面积和12niiiiiSSSSSxy对于每一个小区域来说，刚才的推导也是成立的222222220[]iiiiiSxyxyxyxy现在我们把它对所有小区域求和现在我们把它对所有小区域求和22220iiixyxy再进一步，如果我们取的小区域趋向无穷小，也就是0;0iixy回忆一下，高等数学中定积分的概念，立刻就可以得到2222222200limdd0iiiixiyxyxyxyxy对于边界条件我们同样可以做类似的分析2222dddd0qxylkqlxyn上面的积分式成立根本原因是拉普拉斯方程及其边界条件成立，拉普拉斯方程从以下这个角度看待2222110xy现在，我们把1换成其他的，任意的函数，同样成立222200vvxy对于边界条件也可以这样0v按照刚才的思路，同样可以得到一个积分等式0vkqn2222dddd0qvxyvlvkqlxyn这个方程与拉普拉斯方程及其边界条件是等效的，也就是说，只要拉普拉斯方程成立这个积分式就成立，反过来只要这个积分式成立，拉普拉斯方程及其边界条件就成立。这就是拉普拉斯方程及其边界条件的等效积分形式。我们可以把它推广到一般情况。现在，我们来看一般的微分方程组的情况，之前曾介绍过，微分方程组及其边界条件可以表示为：TT12,,,[0]mmAAAAuuuuTT12,,,[0]kkBBBBuuuu像上面拉普拉斯方程等效积分形式分析的过程一样，对微分方程组中每一个微分方程，以下的积分都是成立的1122d0,d0,,d0nnvAvAvAuuu12,,,nvvv都是任意的函数，把这些积分加起来1122d0nnvAvAvAuuu对于边界条件也一样，只是积分是沿边界积分1122d0kkvBvBvBuuu上面这两个积分，我们可以写成矢量形式T1122dd0nnvAvAvAuuuvAuT1122dd0kkvBvBvBuuuvBuTT1212