§5–1纯弯曲§5–2纯弯曲时的正应力§5–3横力弯曲时的正应力§5–4弯曲切应力§5–6提高弯曲强度的措施第五章弯曲应力内力剪力FS弯矩M§5–1纯弯曲MFS纯弯曲:FS=0,M≠0正应力切应力横力弯曲:FS≠0,M≠0AB段纯弯曲(PureBending):PPaaABFSx+-PPMx+P·a纵向对称面P1P2平面弯曲§5–2纯弯曲时的正应力一、纯弯曲时梁横截面上的正应力1.梁的纯弯曲实验横向线(mn、mn)变形后仍为直线,但有转动;纵向线变为曲线,横向线与纵向线变形后仍正交。变形几何规律:bnamabnmababMMnmnm横截面变形后仍为平面。2.平面假设:bnamabnmababMMnmnm设想梁由无数根平行于轴线的纵向纤维组成,变形后,上部纤维缩短,下部纤维伸长。有一层纤维变形后不伸长也不缩短。3.两个概念中性层:梁内既不伸长也不缩短的一层纤维,此层纤维称中性层。中性轴中性轴:中性层与横截面的交线。中性层2020/5/49(一)变形几何关系:dxbblllddd)(ybbnamanmydx建立坐标系变形前:变形后:dy)(a´b´a´b´MMn´m´n´m´ybbl1yd(1)dlll1伸长量:线应变:dxdxdy)(dxdy)(y中性层中性轴zyxy(二)物理关系:假设:纵向纤维无挤压。(2)yEEP时,当xyzx--曲线P式中:E和ρ为常数,所以横截面上正应力与y成正比。(三)静力关系:zyxzyxMMMFFF0(1)0(2)M(3)xyzFxMyMzMx横截面上的正应力组成一个空间平行力系,可以简化后得到三个内力分量:000xyzxF00ZSE所以必须,由于yMyAMAz)d(ydAdAAxAFdAAyEdAAyEdZSE00(1)0(2)M(3)由(1)式xyzFxMyMz轴必须通过形心中性所以,)(zAdAzzA)d(AyEzAMAy)d((平面弯曲,Iyz=0)yAMAz)d(EIz梁的抗弯刚度。由(2)式由(3)式zIyM(5-2)xyzydAdAAAEyzdAAyzEdyzEIAAEyd2AAyEd2zEIMzzEIM1(5-1)0yEzIyM(5-2)xyzMx§5–3横力弯曲时的正应力hFlAB对于横力弯曲,当5时,按纯弯曲时的公式计算正应力,误差不超过1%。hl一、横力弯曲时的正应力zIyM二、最大正应力:zIMymaxmaxmax:yIWzZ记zWMmaxWz称为抗弯截面系数σmaxM62bhWzbzy矩形:2,12max3hybhIZ抗弯截面系数:323dWz)1(3243DWzDd空心圆:实心圆:2,64max4dydIZ2maxDydzyDdzy,)1(6444DIZmaxhPlABzWMmaxmax三、梁的正应力强度条件max[例1]PABl图示起重机大梁,Q235钢,[]=170MPa,小车和重物重量P=265kN,l=4m,求:1)设计h/b=1.5的矩形截面梁;2)选择工字钢型号:3)比较这两种截面梁的耗材。hbzy解:(1)当小车在跨中时梁最危险。zy求支座反力,画弯矩图。PABl/2l/2Chbzy(2)矩形截面梁ZWMmaxmaxzWMmaxmax62maxbhM][32max5.16bM32max][5.16Mb)mm(8.160)mm(2.241h(3)工字形截面梁][][maxMWz)cm(8.15583zyxM265m)(kN+查表,选择No.45c工字钢工矩AA3cm1570zW23.3(4)比较耗材工字钢耗材是矩形截面梁的三分之一。hbzyzy120002.2418.160受均布载荷作用的简支梁如图所示,试求:梁内的最大正应力;[例2]q=60kN/mAB3m120180zyxM+5.67m)(kN解:MPa2.1041048.6105.6756maxmaxzWMkNm5.67maxM62bhWz61801202)mm(1048.635[例3]支座A和B放在什么位置,梁的受力最合理。q=60kN/mAB3maa120180zy解:考虑两种极限情况a=0和a=1.5mq=60kN/mABl=3maaq=60kN/mABl=3mxM+5.67m)(kNM+--M-q=60kN/ml=3mABq=60kN/mAl=3maaBM+--282qlaql22qaq=60kN/ml=3maaABC22qa22qaMMBA8)2(22qlalqlMC时,梁受力最合理:当ACMM04422llaa222llla舍去负值la)12(21l207.022822qaqalql∴282qlaqlM+--q=60kN/maaABCm)kN(56.11BAMMm)kN(56.11CM最大弯矩下降了:82.05.6756.115.67%82。降了梁内最大正应力同样下%82l=3mm)kN(56.1156.1156.11M+--铸铁梁,受力如图,铸铁的[t]=20MPa,[c]=60MPa,试根据危险截面k-k的强度,确定最大载荷P。(2)求危险截面上的弯矩[例4]k770Pk101010180285解:(1)求形心位置和惯性矩Cycyzz1)(mm3.112cy)(mm10622044zI)mm(N770PMKtcMk101010180285Cycyzz1k770PkMktcMk(4)压应力强度(3)拉应力强度zcktIyM)(kN4.14P101010180285Cycyzz141062203.112770PtzckcIyM)285(41062207.172770Pc)(kN1.28P∴允许的最大载荷P≤14.4kNk770PkMkT字形截面的铸铁梁,受力如图,铸铁的[t]=30MPa,[c]=60MPa,其截面形心位于C点,y1=52mm,y2=88mm,Iz=763cm4,试校核此梁的强度。解:(1)求支座反力)kN(5.2ARP1=9kN1m1m1mP2=4kNABCD[例5]y1y2CRARB)kN(5.10BR(2)画弯矩图找危险截面P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDy1y2CRARBB截面弯矩最大,是危险截面2.5kNm4kNmMx-+(2)B截面的强度P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDy1y2C负弯矩,上边缘受拉,下边缘受压zBtIyM1zBcIyM2[t][c]+-tcMB2.5kNm4kNmMx-+MPa2.27107635210446MPa2.46107638810446(3)C截面的强度P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDy1y2C正弯矩,下边缘受拉,上边缘受压zCtIyM2zBzCcIyMIyM21[t][c]+-+-∴梁安全tcMCMPa2.281076388105.2462.5kNm4kNmMx-+讨论:若将T字形梁倒置,梁是否安全?P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDy1y2Cy1y2C][MPa2.461076388104t462zBtIyMB截面的拉应力:梁的强度不够。tcMB2.5kNm4kNmMx-+T字形截面铸铁梁,梁长为l,受活动载荷,如图,已知许用拉应力与许用压应力之比[t]:[c]=1:4,y1:y2=1:5,试确定合理的a值。[例6]y1y2Cal/2ABCDaPl/2解:al/2ABCDaPl/2al/2ABCDaPl/2y1y2C-P·a+)2(4alP正弯矩:拉应力控制强度负弯矩:压应力控制强度[t]:[c]=1:4,y1:y2=1:5y1y2C正弯矩:拉应力控制强度负弯矩:压应力控制强度[t]:[c]=1:4,][t2zCtIyM][c2zBcIyM][][ctBCMM4BCMM4)2(4PaalP3la+)2(4alP-P·a§5–4弯曲切应力FSMx一、矩形截面梁1、两点假设:(1)切应力与剪力平行;§5–4弯曲切应力b2h2hτyzyFSxdxzyhbxdxx(2)切应力沿宽度均匀分布。FSyτdx2、研究方法:分离体平衡,0XFSMM+dMFSyy图BdxyFSτzyxhb1N2dxN1(1)在梁上取微段如图B;(2)在微段上取一块,求平衡0)d(112xbNN1zIyMM1)d(dxyzyx2NzzISMM)d(zzbISxMdd1由切应力互等定理bISFzzS*zzIMSN1同理:*d)d(1AzAyIMMN2dxN11AzAyIMMd)d(10d)d(1*xbIMSISMMzzzzSFxMddbISFzzS0)d(112xbNN由AdAdAy1A*b2h2hyzyFSbISFzzS*zb2h2hyyFSy*cA*zS)24)(2(yhyhb)4(222yhb)24)(2(yhyyhb)4(222yhIFzS矩∴max)2)(2(2yhyhb当y=0时,max,2hy0cyA422maxhIFzS)4(222yhIFzS矩方向:与横截面上剪力方向一致;大小:沿截面宽度均匀分布,沿高度h分布为抛物线。最大切应力为平均切应力的1.5倍。zb2h2hyyFSy*cA*当y=0时,max矩形截面弯曲切应力分布规律:AFS5.1412223hbhFSbhFS23平均5.1平均5.1maxB2H2H2h2hbyzyFSbISFzZS*分为腹板和翼板:翼板上除了有平行于FS的切应力分量外,还有水平分量。腹板为狭长矩形,可以采用前述的两个假设。采用相同的推导,得到切应力公式:二、工字形截面梁zS)442)(22(hHhhHB)(8)4(22222*hHByhbSZB2H2H2h2hbyzy)24)(2(yhyyhb2211yAyAA2A11y2y)]4(2)(8[2222yhbhHBbIFZSmaxminB2H2H2h2hbyyFSy=0时,]8)(8[222maxbhhHBbIFZS]8)(8[22hbBBHbIFZS]88[22minBhBHbIFZS时,2hyBbBbB则,如果minmax此时腹板上的切应力可以看成近似的均匀分布。A腹—腹板的面积。SAFA)97.0~95.0(d腹即:腹板承受了95%~97%的剪力又因为max≈min腹AFSmaxB2H2H2h2hbyzyFS计算腹板上切应力的合力:对工字形型钢,切应力由下式计算:dSIFZzS)(max为腹板厚度。由查表得到,式中:dSIZzzydmax三、T字形截面梁yzτyFSA*bbISFzZS*在梁的横截面上,最大正应力发生梁截面的上下边缘,最大切应力发生在截面的中性轴处。三、切应力强度条件切应力强度条件:bISFzzS*maxmaxmax][Mmaxmax细长梁的控制因素通常是弯曲正应力,只有在下述情况下,需要进行梁的弯曲切应力强度校核:(2)铆接或焊接的组合截面,其腹板的厚度较薄,要校核腹板的切应力。(1)梁的跨度较短,或在支座附近作用较大的载荷