材料力学第04章(弯曲内力)-06

§4–1弯曲的概念和实例§4–2受弯杆件的简化§4–3剪力和弯矩§4–4剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图§4–5载荷集度、剪力和弯矩间的关系§4–6平面曲杆的内力图第四章弯曲内力一、弯曲的概念受力特点：杆件受垂直于轴线的外力（包括外力偶）的作用。梁：以弯曲变形为主要变形的构件通常称为梁。§4–1弯曲的概念和实例P变形特点：轴线变成了曲线。工程实例工程实例纵向对称面轴线CP1P2q平面弯曲：梁的横截面有一对称轴，外载荷作用在纵向对称面内，杆发生弯曲变形后，轴线仍然在纵向对称面内，是一条平面曲线。对称弯曲非对称弯曲——若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵向对称面但外力并不作用在对称面内，这种弯曲则统称为非对称弯曲。下面几章中，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算。梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。1.构件本身的简化§4–2受弯杆件的简化PalABlPa通常取梁的轴线来代替梁。(1)固定铰支座2个约束，1个自由度。如：桥梁下的固定支座，止推滚珠轴承等。(2)可动铰支座1个约束，2个自由度。如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴承等。2.支座简化(3)固定端3个约束，0个自由度。如：游泳池的跳水板支座，木桩下端的支座等。XAYAMA3.梁的三种基本形式(1)简支梁M—集中力偶(2)外伸梁—集中力Pq—均布力4.载荷简化作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：集中力、集中力偶和分布载荷。q(x)—分布力(3)悬臂梁q—均布力集中力集中力偶PM5.静定梁与超静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。Mqq超静定梁：由静力学方程不能求出支反力或不能求出全部支反力。弯曲内力已知：P，a，l。解：(1)求支座反力§4–3剪力和弯矩PalABPABRAyRAxRB0,0AxxRFlPaRMBA,0lalPRFAyy)(,0x求：距A端x处截面上内力。ACRAy（2）求内力——截面法剪力FS弯矩MFSMRBPMFSCAyRFS取左段：ABPRBmmxRAy0,0SFRFAyyxRMAy,0CMlalP)(0MxRAy内力的正负规定:（1）剪力FS:左上右下为正;反之为负。FSFS+左上右下为正FSFSFSFS+（2）弯矩M：使梁变成上凹下凸的为正弯矩；反之为负弯矩。MM(+)左顺右逆为正可以装水为正MMMM(+)MM(–)（2）弯矩M：使梁变成上凹下凸的为正弯矩；反之为负弯矩。MM(+)左顺右逆为正可以装水为正MMMM(+)MM(–)MM[例1]求C截面上的内力。q0lABaC,0yF解：,0AM截面法求C截面内力：,03220llqlRBlqRB031,020lqRRBA,610lqRAlq021AaCRAFSM取左段：,021SAFalaqR,0CMFy,03220alaqaRMAlaqRFA220S,03220MalaqaRARARB求D截面上的内力。,0yF解：,0BMAqBDaCaaRARB截面法求D截面内力：,0232qaaRAqaRA32,02qaRRBA,34qaRBRAaaqFSMD[例2]取左段：,0SFqaRA,0OMFy,02212qaaRMARAaaqFSMqaRFASqaqa32,02122MqaaRA221232qaaqa剪力=截面左侧所有外力在y轴上投影代数之和，向上为正。弯矩=截面左侧所有外力对该截面之矩的代数和，顺时针为正。qa31265qa[例3]求1-1、2-2截面上的内力。ABaqa221C1P=qam=2qa2mqaaPM221qaPFSqaqa22221qaqaaqaqFSP=qam=2qa2M解：[1-1截面]qa2221qaBaqa221C1P=qam=2qa2maqaaPM232qaPFSqaqaqa2222232qaqaaqaqP=qam=2qa2FSM223qa[2-2截面]BaqaCP=qam=qa2A[例4]求A截面上的内力。maqaPM2)2(212aqPF2Sqaqaqa3222)2(212qaaqaqa解：[A截面]BaqaCm=qa2AFSM23qa§4–4剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图[例]BxqlA求x截面上的内力。解：qxFS22xqMFS=FS(x)剪力方程)(xMM弯矩方程剪力图和弯矩图：BxqlAqxxF)(S22)(xqxMFSMxql22ql－－x0SFqlFS0x，lx，0M221qlM0x，lx，281qlM2lx，－求梁的内力方程并画出内力图。PxFS)(解：PxxM)(写出内力方程Pl根据方程画内力图FSMxxPPl[例5]xPlM0M0x，lx，－[例4-2](P119)求梁的内力方程并画出内力图。ABPaClbRARBx1x2解:(1)求支座反力PlbRAPlaRB(2)写出内力方程ASRxF)(111)(xRxMAPRxFAS)(2)()(22xlRxMBAC段：CB段：1PxlbPPlbPllb)(2xlPlaPlaPlbPlbxFS)(1FSxMx+－PlbPla(3)根据方程画内力图PlaxFS)(2ABClabPx1x2MxABClabPFSx+－PlbPla)(1xM1Pxlb)(2xM)(2xlPlalPab+0MlPabM,01x,1axx1x20MlPabM,2ax,2lx(4)内力图特征：在集中力作用的地方，剪力图有突变，P力向下FS图向下变，变化值=P值;弯矩图有折角。ABClabxP+－PlbPlaMx+lPabRARBFS[例6]求梁的内力方程并画出内力图。RARBx1x2解：(1)求支座反力lmRAlmRB(2)写出内力方程ASRxF)(111)(xRxMABSRxF)(2)()(22xlRxMBAC段：CB段：1xlmlm)(2xllmABmaClblmlmxF)(1S)(2SxFlmxMxlm+FSBClabAm(3)根据方程画内力图x1x2)(1xM1xlm)(2xM)(2xllmmla+－mlbMxxlm+FSBClabAmx1x20MmlaM,01x,1ax0MmlbM,2ax,2lx(4)内力图特征：在集中力偶作用的地方，剪力图无突变；弯矩图有突变，m逆时针转，M图向下变，变化值=m值。mla+－mlbMxxlm+FSBClabAmx1x2RARBABqa[例7]求梁的内力方程并画出内力图。RARBx解：(1)求支座反力AR2qaRB(2)写出内力方程qxRxFA)(SxRxMA)(qxqa222121qxqax221qxABaxRARBqxMx2qaFS)(SxFqxqa2+－2qa（3）根据方程画内力图2SqaF,0x2SqaF,axMxx2qaFS+－2qaABaxRARBq82qa)(xM22121qxqax+2a0M0M,0x,ax82qaM,2ax(4)内力图特征：在均布力作用的梁段上，剪力图为斜直线；弯矩图为二次抛物线，均布力向下作用，抛物线开口向下。抛物线的极值在剪力为零的截面上。Mxx2qaFS+－2qaABaxRARBq82qa+2aB2aaAqC2qaP[例8]求梁的内力方程并画出内力图。x1x2解：(1)写出内力方程PxF)(1S11)(PxxM222)(2121axqqax)()(22SaxqPxF2222)(21)(axqPxxM)(22axqqa121qax2qaB2aaAq2qaPx23qaFS－2qa(2)根据方程画内力图2)(1SqaxF)(2)(22SaxqqaxF+x2x12,S2qaFax23,3S2qaFaxMxMxx23qaFS－2qa+B2aaAq2qaP1121)(qaxxM222)(2121axqqax)(2xM22qa22qax2x10,01Mx2,21qaMax2,22qaMax2,322qaMax二次抛物线的升降，开口方向，极值点Mxx23qaFS－2qa+B2aaAq2qaP22qa22qax2x1222)(2121axqqax)(2xM22d)(dxxM)(22axqqa)(2SxF极值点：0)(2SxF令0)(22axqqa即：得：ax23023a2085qaM852qa+一、剪力、弯矩与分布荷载间的关系取一微段dx，进行平衡分析。0)(d)(d)()(,0SSSxFxFxxqxFFy)(dd)(SxFxxqq(x)q(x)M(x)+dM(x)FS(x)+dFS(x)FS(x)M(x)dxAxqxxFddS剪力的导数等于该点处荷载集度的大小。§4–5载荷集度、剪力和弯矩间的关系dxxq(x)M(x)+dM(x)FS(x)+dFS(x)FS(x)M(x)dxA0)](d)([)())(d(21)d(,02SxMxMxMxxqxxFMA)(d)(dSxFxxM弯矩图的导数等于该点处剪力的大小。)(d)(d22xqxxM弯矩与荷载集度的关系是：省略高阶微量)(d)(dSxFxxM)(d)(d22xqxxMxqxxFddS1、若q=0，则FS=常数，M是斜直线；2、若q=常数，则FS是斜直线，M为二次抛物线；3、M的极值发生在FS=0的截面上。二、剪力、弯矩与外力间的关系外力无外力段均布载荷段集中力集中力偶q=0q0q0FS图特征M图特征CPCm水平直线xFSFS0FSFS0x斜直线增函数xFSxFS降函数xFSCFS1FS2FS1–FS2=P向下突变xFSC无变化斜直线xM增函数xM降函数曲线xMxM有折角向上突变MxM1M2mMM12)(d)(dSxFxxM4、将微分关系转为积分关系：baabxxqFF)d(SSxxFxMd)()(dSbaxxFxMbMaM)d()(dSbaabxxFMM)d(S的面积区间上SFab)(d)(dSxqxxFxxqxFd)()(dSbaxxqxFFF)d()(dSbSaS的面积区间上qab的面积区间上SFabMMab的面积区间上qabFFabSS简易作图法:利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图的方法。[例4]用简易作图法画下列各图示梁的内力图。解:特殊点:端点、分区点（外力变化点）和驻点等。aaqaqACBFSx223qaqa2–qa–xMaaqaqACB根据及FS图和M图的特征作图。)(d)(dSxFxxM)(d)(d22xqxxMxqxxFddS0SCF2qaMB22qaMMBC232qa用简易作图法画下列各图示梁的内力图。解：求支反力2;2qaRqaRDAqM=qa2P=qaFSxqa/2qa/2qa/2––+ABCDqa2/2xMqa2/2qa2/23qa2/8–+RARDaaa[例9]qaqaFC2S2qa22qaMB2221220aqaqaM832qa22qaMC[例10]P=3kNq=10kN/mB1.2m0.6mm=3.6kN·mCRARBDA0.6mkN5kN10BARRFS(kN)x3M(kN·m)x2.45–++–M0=1.251.21.8x0=0.7m7––+070xq27.072.10M77a2aaRARBABqCDmxx–q=3