§2初等解析函数解读

§2初等解析函数一、教学目标或要求：掌握初等解析函数的定义、性质二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）：基本内容：初等解析函数的定义、性质重点：初等解析函数性质难点：解析函数的性质三、教学手段与方法：讲授、练习思考题、讨论题、作业与练习：12－19§2初等解析函数1．指数函数定义2.4设yxzi，称)sini(coseeyyxz为指数函数，其等式右端中的e为自然对数的底，即2.71828e．指数函数性质（1）它是实指数函数的自然推广。（2）对任意二复数111iyxz与222iyxz,有2121eeezzzz。（3）ze在复平面上为解析函数，且有zze)(e（4）对任意一复数yxzi，有π2)(Arg,eekyzxz（k：整数）（5）ze只以iπ2k(k为整数)为周期，是以为基本周期的周期函数。（6）21eezz的充分必要条件是iπ212kzz（k为整数）（7）zzelim不存在．（8）设yxzi，若0y，则xzee；若0x，则yyysinicosei。这便是欧拉公式．（9）若yxzi，则zzee．2．三角函数与双曲函数由方程可得因此我们可定义复三角函数为定义2.5设z为复数，称i2eeiizz与2eeiizz分别为z的正弦函数和余弦函数，分别记作i2eesiniizzz与2eecosiizzz正、余弦函数的性质：（1）zsin与zcos在复平面解析，且有zzzzsin)(cos,cos)(sin事实上，同理，可证另一个。（2）是奇函数，是偶函数，三角学中实变量的三角函数间的已知公式对复变量的三角函数仍然有效：例如，由定义可推得1cossin22zzzzcos)2sin(zzsin)2cos(212121sincoscossin)sin(zzzzzzzzsin)sin(212121sinsincoscos)cos(zzzzzzzcos)cos(（3）zzziesinicos（4）zsin仅在πkz处为零，zcos仅在π2πkz处为零，其中的k为整数．（5）zsin与zcos均以π2k（k为整数）为周期。（6）在复数范围内，不能断定.例如，取，则当y充分大时，就可以大于任何指定的数.（7）zzsinlim与zzcoslim均不存在．例试证zzzi2iesini21e证：由定义zzzzzi2iiiei21ei2eesin，可得zzzi2iesini21e例计算)i1cos(的值．解由定义得2ee2ee)i1cos(1i1i)i1(i)i1(i1sin)ee(21i1cos)ee(2111定义2.6称分别为的正切、余切、正割与余割函数。这四个函数在其分母不为零的点处解析且定义2.7规定并分别称为的双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切、双曲正割及双曲余割函数。