7(12)偏导数计算在偏微分方程中的应用

1第十二节偏导数计算在偏微分方程中的应用验证给定函数满足某偏微分方程第八章多元函数微分法及其应用变量代换小结思考题作业2一、验证给定函数满足某偏微分方程2222220.uuuuxyz例验证函数在定义域上满足拉普拉斯方程:2221uxyz3例2设函数(,)zzxy由方程,0zzFxyyx确定,证明:.zzxyzxyxy4由例5,)1(22yuxu.)2(2222yuxusin,cosryrx解),(yxfu现将22yuxu2222yuxu,r用),(rF把下列表达式转换为极坐标系中的形式:),(yxfu设的所有二阶偏导数连续,)sin,cos(rrf函数),(yxfu换成极坐标及r的函数:及以及函数),(rFu,r对的偏导数来表达.二、变量代换5复合而成.xu2ryurxruruθxyrurusincoscosxrrxsin(1)看成由),(yxfuxyarctan,22yxr),(rFu及xrruxu22)1(yuxu6yu2rxuryrururucossinsinyrrycos2221urru得22yuxuyrruyuxyarctan,22yxr),,(rFuruθxyxururusincos7ruruxusincos(2)22xursinruθxyruu)sincos(ruruxru2ru2),(yxfu设的所有二阶偏导数连续x2222)2(yuxucos22ruxrx)sin(22uxxrsin)1(2rxxrr1coscosxrrxsin8ururrurrurru222222222cossin2sinsincossin2cos同理可得(自己练)ururrurrurruyu222222222222cossin2coscoscossin2sinsinyrrycos9两式相加,得:22222222211urrurruyuxu])([1222ururrrr10例以,yuvyx作自变量,wyzx作函数,变换方程:2222zzxxxy11二、小结会变换方程12作业习题７.12(122页)2.