高三模拟理科数学试题及答案

哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试数学试卷（理工类）第1页共6页高三模拟考试数学试卷（理工类）考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B铅笔填涂,非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整,字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I卷（选择题,共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.集合2,1M，3,2,1N，NbMaabxxP,,,则集合P的元素个数为A.3B.4C.5D.62.若i是虚数单位，则复数ii12的实部与虚部之积为A.43B.43C.i43D.i433.若,表示两个不同的平面，ba,表示两条不同的直线，则//a的一个充分条件是A.a,B.bab//,C.//,//bbaD.a,//4.若312cos，则44cossin的值为A.1813B.1811C.95D.1哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试数学试卷（理工类）第2页共6页5.若按右侧算法流程图运行后，输出的结果是76,则输入的N的值为A.5B.6C.7D.86.若变量yx,满足约束条件043041yxyxx，则目标函数yxz3的最小值为A.4B.0C.34D.47.直线02yx截圆422yx所得劣弧所对圆心角为A.6B.3C.32D.658.如图所示，是一个空间几何体的三视图，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是A.949B.37C.328D.9289.等比数列na中，若384aa，则106262aaaa的值是A.9B.9C.6D.310.在二项式nxx)2(4的展开式中只有第五项的二项式系数最大，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项都互不相邻的概率为A.61B.41C.31D.12511.设A、B、P是双曲线12222byax0,0ba上不同的三个点，且A、B连线经过坐标原点，若直线PA、PB的斜率之积为41，则该双曲线的离心率为开始输入N0,1Sk)1(1kkSS?Nk输出S结束1kk是否2222正视图俯视图侧视图哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试数学试卷（理工类）第3页共6页A.25B.26C.2D.31512.在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数()lnfxxxx的图象上的动点，该曲线在点P处的切线l交y轴于点(0,)MMy，过点P作l的垂线交y轴于点(0,)NNy.则NMyy的范围是A．),3[]1,(B.),1[]3,(C.[3,)D.]3,(第Ⅱ卷（非选择题,共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13.已知(0,)2，由不等式1tan2tan，22222tantan2tan3tan22tan,33333tantantan3tan4tan333tan，归纳得到推广结论：tan1()tannmnnN，则实数m_____________14.五名三中学生中午打篮球,将校服放在篮球架旁边,打完球回教室时由于时间太紧,只有两名同学拿对自己衣服的不同情况有_____________种.(具体数字作答)15.已知(0,1),(0,1),(1,0)ABC,动点P满足22||APBPPC,则||APBP的最大值为_____________16.在ABC中，内角,,ABC所对的边长分别为,,abc，已知角A为锐角,且22sinsinsin4sinsin()BCABCm，则实数m范围为_____________三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分12分）数列{}na满足112,2nnaaa，等比数列{}nb满足8411,abab.哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试数学试卷（理工类）第4页共6页（I）求数列{}na，{}nb的通项公式；（II）设nnncab，求数列{}nc的前n项和nT.18.（本小题满分12分）某高中毕业学年，在高校自主招生期间，把学生的平时成绩按“百分制”折算，排出前n名学生，并对这n名学生按成绩分组，第一组[75,80)，第二组[80,85)，第三组[85,90)，第四组[90,95)，第五组[95,100]，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数为60.（I）请在图中补全频率分布直方图；（II）若Q大学决定在成绩高的第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行面试.①若Q大学本次面试中有B、C、D三位考官，规定获得两位考官的认可即面试成功，且面试结果相互独立，已知甲同学已经被抽中，并且通过这三位考官面试的概率依次为12、13，15，求甲同学面试成功的概率；②若Q大学决定在这6名学生中随机抽取3名学生接受考官B的面试，第3组中有名学生被考官B面试，求的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCDP中，底面ABCD为菱形，60BAD，Q为AD的中点.频率组距O成绩0.020.040.0675808590951000.080.010.030.050.07哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试数学试卷（理工类）第5页共6页（I）若PDPA，求证：平面PQB平面PAD；（II）若平面PAD平面ABCD，且2ADPDPA，点M在线段PC上，试确定点M的位置，使二面角CBQM大小为60,并求出PCPM的值.20.（本小题满分12分）若点2,1A是抛物线pxyC2:20p上一点，经过点2,5B的直线l与抛物线C交于QP,两点.（I）求证：QAPA为定值；（II）若点QP,与点A不重合，问APQ的面积是否存在最大值?若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分12分）设aR，函数21()(1)xfxxeax．（Ⅰ）当1a时，求()fx在3(,2)4内的极值；（Ⅱ）设函数1()()(1)xgxfxaxe，当()gx有两个极值点1x，2x（12xx）时，总有211()()xgxfx，求实数的值．（其中()fx是函数()fx的导函数．）请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB是的⊙O直径，CB与⊙O相切于B，E为线段CB上一点，连接AC、AEBACDPQ哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试数学试卷（理工类）第6页共6页分别交⊙O于D、G两点，连接DG交CB于点F.（Ⅰ）求证：C、D、G、E四点共圆.（Ⅱ）若F为EB的三等分点且靠近E，EG1，GA3，求线段CE的长.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为tytx33，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为03cos42（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离d的取值范围.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数1)(xxf.（Ⅰ）解不等式6)3()1(xfxf；（Ⅱ）若1,1ba，且0a，求证：)()(abfaabf.2014年哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试答案数学（理工类）一、选择题1.C2.B3.D4.C5.B6.B7.C8.C9.B10.D11.A12.AOBACEFDG哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试数学试卷（理工类）第7页共6页二、填空题13.nn14.2015.616.66(2,)(,2)22三、解答题17.解：（I）112,2nnaaa，所以数列{}na为等差数列，则2(1)22nann；-----------------------------------------------3分11482,16baba，所以3418,2bqqb，则2nnb；-------------------------------------------------------------------6分（II）12nnnncabn，则23411222322nnTn345221222322nnTn两式相减得2341212223222nnnTn----------9分整理得2(1)24nnTn.-----------------------------------------------12分18.解：（Ⅰ）因为第四组的人数为60，所以总人数为：560300，由直方图可知，第五组人数为:0.02530030人，又6030152为公差，所以第一组人数为：45人，第二组人数为：75人，第三组人数为：90人频率组距O成绩0.020.040.0675808590951000.080.010.030.050.07哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试数学试卷（理工类）第8页共6页---------------------------------------------------------------------------------------------------4分（Ⅱ）设事件A甲同学面试成功，则()PA114121111111423523523523515……………..8分（Ⅲ）由题意得，0,1,2,30333361(0)20CCPC，1233369(1)20CCPC,2133369(2)20CCPC,3033361(3)20CCPC分布列为0123P12092092012019913()0123202020202E…………………..12分19.（I）PDPA，Q为AD的中点，ADPQ，又底面ABCD为菱形，60BAD，ADBQ,又QBQPQAD平面PQB，又AD平面PAD,平面PQB平面PAD;-----------------------------6分（II）平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ADABCD,ADPQPQ平面ABCD.以Q为坐标原点，分别以QPQBQA,,为zyx,,轴建立空间直角坐标系如图.zBACDPQ哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试数学试卷（理工类）第9页共6页则)0,3,2(),0,3,0(),3,0,0(),0,0,0(CBPQ,设PCPM(10),所以))1(3,3,2(M，平面CBQ的一个法向量是)1,0,0(1n，设平面MQB的一个法向量为2n),,(zyx，所以0022nQBnQM取2n)3,0,233(，-----------------------------------------9分由二面角CBQM大小为60，可得：||||||212121nnnn，解得31，此时31PCPM--------------------------------12分20.解：（I）因为点