第8讲控制系统的稳态误差

习题B.6.1B.6.2B.6.84.5控制系统的稳态误差0000001100002200limlimlimlimlimlimpvvssvvvssavvssKKKGHssKKKGHssKKKGHss0020lim()(),lim()(),lim()(),psvsasKGsHsKsGsHsKsGsHs位置误差系数速度误差系数加速度误差系数00)()(HGsKsHsGvKKK000∞∞∞KpKvKaⅠ型0型Ⅱ型4.5控制系统的稳态误差Ⅰ型0型Ⅱ型R=1(t)11+Kp1Kv1KaR=t000∞∞∞R=t2/2KpKvKaKKK000∞∞∞减小稳态误差方法:1、增大开环增益；2、提高系统型数1111ssPssvssapvaeeeKKKpK2vK0aK()Rs()Cs10(5)ss211vssvKe011PssPKeassaKe1解：此系统为I型系统稳态误差为例:如下系统，当输入信号分别为、、时，试分别求出系统的稳态误差。t221t1()t例：某控制系统的结构图为试分别求出H(s)=1和H(s)=0.5时，系统的稳态误差(定义在输出端)。21021ss()Hs()Cs-()51()rtt解:当H(s)=1时，系统的开环传递函数为则系统稳态误差210(),10,021Gskss055111011ssRek002lim()()1155lim100.5310.521sserssessRsssss当H(s)=0.5时,若上例在H(s)=1时,系统的允许稳态误差为0.2,问开环增益k应等于多少?005,112410.2ssssRRekke则21()1(),()12rttttHs时,上例的稳态误差又是多少?例：设具有测速发电机内反馈的位置随动系统如图所示，要求计算时，系统的稳态误差。21(t),,2tt1511151.810.851ssGsHssssss()sinrtt1()111esssTsT22()Rss22()()()1esEssRsssT2200lim()lim()lim01tsssetsEssssTsE(s)的极点不全部分布在[S]平面的左半部22()cossin...etTtTt终值定理例第五章根轨迹方法5.1根轨迹的基本概念5.2根轨迹绘制的基本方法5.3典型环节根轨迹与广义根轨迹5.4应用根轨迹分析和设计控制系统5.1根轨迹的基本概念根轨迹简称根轨，它是开环系统某一参数从0变到正无穷时，闭环系统特征方程式的根在s平面上变化的轨迹。根轨迹法的实质就是用图解法利用开环系统的零、极点解决闭环特征方程式的求根问题。根轨迹法是由美国工程师W.R.Evans于1948年在《控制系统的图解分析》的论文中提出的。例：设一系统1(1)Kss()Rs()Cs闭环传递函数121KssK(s)特征方程0Kss12特征方程的根121,4K15.05.0s考察K1从零到无穷大变化时，特征方程根的变化情况121,4K15.05.0s1、K1=0时，s1=0,s2=－12、0＜K1＜0.25时，两个互异负实根3、K1=0.25时，s1=s2=－0.54、0.25＜K1＜∞时，s1，2=－0.5±0.5j√4k－1-1-0.50jK1=0.25K1=0K1=0K1K1所谓根轨迹图，即以系统根轨迹增益K1为参变量，当K1由0→∞时，系统闭环极点在s平面上变化的轨迹。稳定性当根轨迹增益K1由0→∞，根轨迹不越过虚轴进入s平面右半边，因此系统对所有非零值都是稳定的稳态特性开环传递函数在坐标原点有一个极点，所以属I型系统，可以根据根轨迹增益K1计算Kv。如果已知ess，则在根轨迹图上可以确定闭环极点取值的容许范围。动态特性当0K10.25时，闭环极点位于实轴上，过阻尼状态；当K1=0.25时，两个闭环实极点重合，临界阻尼系统;当K10.25时，闭环系统是复极点，欠阻尼状态，单位阶跃响应为衰减振荡过程。-1-0.50jK1=0.25K1=0K1=0K1K15.1根轨迹的基本概念开环零、极点与闭环零、极点之间的关系qiifiiGpszsKsG11)()()(()Rs()Cs()Gs()Bs()Es()HshjjljjHpszsKsH11)()()(HGqihjjiljjfiiKKKpspszszsKsHsG111111,)()()()()()(其中lfmhqnzsKpspszsKsHsGsGsnimjjihjjfiiG,,)()()()()()(1)()(11111其中5.1根轨迹的基本概念根轨迹方程()Rs()Cs()Gs()Bs()Es()Hs闭环传递函数：)()(1)()(sHsGsGs闭环特征方程：0)()(1sHsG1)()(sHsG根轨迹向量方程)(1)()()()(111mnpszsKsHsGnjjmii5.1根轨迹的基本概念根轨迹幅相条件()Rs()Cs()Gs()Bs()Es()Hs)12(11)()(kjesHsG)(1)()()()(111mnpszsKsHsGnjjmiinjjmiipszssHsG11)()()()(),2,1,0()12(kk1)()(111njjmiipszsKsHsGmiinjjzspsK111或)12()()(ksHsG,2,1,0k1)()(sHsG相角条件幅值条件凡满足幅值条件和相角条件的s值，都是闭环的极点，即特征方程的根。这些s值构成系统的根轨迹。：在复平面中寻找满足相角条件的s值来绘制根轨迹曲线；用幅值条件确定根轨迹曲线上各点所对应的K1值。这里绘制的根轨迹以根轨迹增益K1为参数，满足180+2kπ的相角条件。5.2根轨迹绘制的基本方法法则1：根轨迹的起点和终点起点（K1=0）：根轨迹起始于开环极点终点（K1）：根轨迹终止于开环零点。包括m个有限远的零点（简称有限零点）和(n-m)个无限远的零点(简称无限零点)。5.2根轨迹绘制的基本方法法则2：根轨迹的分支数和对称性根轨迹的分支数等于开环系统的极点数（系统阶次）。一条完整的根轨迹称为根轨迹的一个分支。n阶系统有n个根轨迹的起点和终点。所以其分支数必等于开环的极点数或系统的阶数。根轨迹对称于实轴。特征方程的根或为实数，或为共轭复数。根轨迹是根的集合，所以必对称于实轴。连续性5.2根轨迹绘制的基本方法法则3：根轨迹的渐近线（s=∞处的根轨迹特征）共有(n-m)条根轨迹分支沿着与实轴夹角为φk，与实轴交点为同一点-λ的一组渐近线趋向无穷远处：渐近线与实轴的夹角：1,,2,1,0,)12(mnkmnkk渐近线与实轴的交点：mnzpjmjini)()(115.2根轨迹绘制的基本方法法则4：根轨迹在实轴上的分布实轴上凡有根轨迹的线段，其右侧的开环零点、极点之和必为奇数。解：按根轨迹绘制的规则：（1）起点：0，-1，-2；终点：∞，∞，∞。（2）分支数：n=3（3）根轨迹对称于实轴。（4）渐近线：因为本系统中，n=3,m=0，所以渐近线共有3条。渐近线的倾角：例：已知：)2)(1()()(1sssKsHsG0312180)k(试画出根轨迹的大致图形。1802603取k＝0，1，2，得到601渐近线与实轴的交点：1030)210(ReIm0[]s211.414j1.414j6060180（5）根轨迹在实轴上的分布：0~-1，-2~-∞之间。5.2根轨迹绘制的基本方法法则5：根轨迹在实轴上的分离点两条或两条以上根轨迹分支在S平面上相遇又立即分开的点，称为分离点。分离点满足如下条件：分离点1K1K01K01K1K1K会合点01K01K进入分离点的l条根轨迹和离开分离点的l条根轨迹交错排列，它们的切线共同均分2（l为分离点的重根数）。0,011KdsdK根轨迹在s平面上相遇，表明系统有相同的根。即根轨迹上的分离点与特征方程式的重根相对应。如果实轴上相邻的两个开环极点（或零点）之间存在根轨迹，则至少存在一个分离点。如果实轴上相邻的开环极点、零点之间存在根轨迹，则或者无分离点，或者存在成对的分离点。由于根轨迹上的分离点与特征方程式的重根相对应，即满足：minjjinjjmiipssQzssPsQsPKpszsKsHsG111111)()()()(,)()()()()()(，其中)()(1sPsQK根据根轨迹方程：1)()()()(1sQsPKsHsG0)()(1sPKsQ闭环特征方程式D(s)0)()()(1sPKsQsD0)()()(1sPKsQsD利用上两式消去K1，可得0)()()()()(21sPsQsPsQsPdsdK为了便于记忆，可写成0)()()()(sQsPsQsP以上分析没有考虑K10(且为实数)的约束条件，所以只有满足K10的这些解，才是真正的分离点。例:设系统()Rs()Cs12(2)22Ksss22)2()()(21sssKsHsG414.3,586.021ss试求该系统根轨迹在实轴上的分离点。求得：解：系统的开环传递函数22)(),2()(2sssQssP0)2()24()2()22()22)(2()()()()()(222221sssssssssPsQsPsQsPdsdK代入特征方程检验：s1代入，K1＜0，故舍去；s2代入，K1＞0。所以s2是分离点。)()(1sPsQKReIm0[]sjj1210K10K3.4141K1K重根数l=2。进入分离点的2条根轨迹和离开分离点的2条根轨迹交错排列，它们的切线共同均分2，为90问题：分离点会不会出现在s平面上实轴以外的地方？什么时候会出现？以什么样的形式出现？满足什么数学条件？5.2根轨迹绘制的基本方法法则6：根轨迹的出射角和入射角当开环零、极点处于复平面上时：根轨迹离开复极点的出发角称为出射角；根轨迹趋于复零点的终止角称为入射角。出射角：入射角：,2,1,0,1211kknijjppmjpzpijiji,2,1,0,1211kknjzpmijjzzzijiji5.2根轨迹绘制的基本方法法则7：根轨迹与虚轴交点常用的2种方法：(1)利用特征方程求取。用j替代s，令虚部、实部分别等于零，求得和对应的K1。(2)利用Routh表求取。将Routh表中s2行系数构造的辅助方程求得。若根轨迹与虚轴的交点多于两个，则应取Routh表中大于2的偶次方行的系数构造的辅助方程求得。5.2根轨迹绘制的基本方法法则8：根之和与根轨迹的走向特征方程：mimimmimnjnjjnjnmiinjjzKszKsKpspszsKpssD111111111111)()()(njnjjnjnnjjsssssssD1111)()(当n-m≥2niiniips11这是一个与K1无关的常数，可以定义极点的“重心”：njinp1/开环n个极点之和等于闭环特征方程n个根之和当K1变化时，极点