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第十章重积分第一节二重积分的概念与性质1、黎曼积分法四部得到满足极限性质2、中值定理：m≤1δ∬f(x,y)dDδ≤M第二节二重积分计算法1、积分思想：将二重积分化为二次积分[∬f(x,y)dDδ]2、利用直角坐标：①思想，将范围中的表示为显函数形式次序几分②如：先将D表示为X-型a≤x≤bφ1(x)≤y≤φ2(x)则∬f(x,y)dDδ=∫dxab∫dyφ1(x)φ2(x)③确定图形，确定D表示的形式，用顶针法确定另一个：如图为方程y=110x2与方程y=x曲线，阴影为D，确定用X-型，则0≤x≤10，用顶针法（图上箭头），箭头从上往下碰到的线为110x2≤y≤x，可确定。3、利用极坐标：①思想，用x=ρcosθy=ρsinθ，代换成比原积分易于（是指对θ较敏感的那些D和f如：x2+y2=a）积分，且关于ρ、θ的积分②∬f(x,y)dDδ=∬f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρDdθ[其中ρ为Jacobi式的绝对值得出：J(ρ,θ)=∂（x,y）∂（ρ,θ）=|xρxθyρyθ|且J≠0]③将关于ρ、θ的D化成θ-型积分第三节三重积分1、积分源、积分法与二重积分类似2、利用直角坐标：如右，确定Z1(x,y)、Z2(x,y)，找出空间立体图形在xoy面的投影，将此化为X-型或Y-型，即：∭f(x,y,z)dV=∫dxab∫dyφ1(x)φ2(x)∫f(x,y,z)dzZ1(x,y)Z2(x,y)如：∭xdxdydz，其中Ω为x+y+z=1与三个坐标面所围成的图形，如图，z的范围由z=0到z=1-x-y内，在xoy面得到一个投影，写成X-型即0≤x≤10≤y≤x，所以有：Z1(x,y)Z2(x,y)∭f(x,y,z)dV=∫dx10∫dyx0∫xdz1−x−y03、截面法：以平行与xoy的面为例：4、利用柱面坐标：中心思想，将其化作：x=ρcosθy=ρsinθz=z如：计算三重积分∭zdV，其中Ω是由曲面z=x2+y2与平面z=4所围成的闭区域（左图）。将其投影到xoy面上确定0≤ρ≤2，0≤θ≤2π同时确定Jacobi式为ρ即：∭zdV=∫dθ2π0∫dρ20∫z·ρdz4ρ2