2018-2019学年广东省深圳市宝安中学高一下学期期中考试数学(理)试题

第1页共19页2018-2019学年广东省深圳市宝安中学高一下学期期中考试数学（理）试题一、选择题1．已知倾斜角为的直线经过，两点，则（）A．B．C．D．2．过点3,1A且倾斜角为120的直线方程为A.34yxB.34yxC.323yxD.323yx3．下列四个命题中正确的是（）①若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；②若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；③垂直于同一平面的两个平面相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．A.①和③B.①和④C.①②和④D.①③和④4．如图是一正方体被过棱的中点M、N和顶点A、D、C1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的正视图为（）5．如图，平面平面，,,ABAB与两平面,所成的角分别为4和6，过,AB分别作两平面交线的垂线，垂足为,AB，若16AB，则AB45(2,4)A(1,)Bmm3351第2页共19页.A4.B6.C8.D96．已知两条直线,mn和两个不同平面,，满足，=l,//m,n,则A.//mnB.mnC.//mlD.nl7．已知向量1,2a，3,0b，若2//abmab，则m的值为A.37B.37C.2D.28．某几何体的正视图和侧视图如图①，它的俯视图的直观图是矩形1111OABC如图②，其中11116,2,OAOC则该几何体的体积为A.32B.64C.162D.3229．已知向量a,b满足a2b0，aba2，则ab（）A.12B.12C.2D.210．点O在ABC所在平面内，给出下列关系式：（1）0OAOBOC；（2）OAOBOBOCOCOA；（3）0ACABBCBAOAOBACABBCBA；（4）()()0OAOBABOBOCBC．则点O依次为ABC的（）A．内心、外心、重心、垂心B．重心、外心、内心、垂心第3页共19页C．重心、垂心、内心、外心D．外心、内心、垂心、重心11．已知O是正三角形ABC内部一点，且230OAOBOC,则OAB的面积与OAC的面积之比为（）A.32B.52C.2D.512．直角梯形ABCD，满足,,222ABADCDADABADCD,现将其沿AC折叠成三棱锥DABC，当三棱锥DABC体积取最大值时其外接球的体积为（）A.32B.43C.3D.4二、填空题13．直线331xy的倾斜角等于_________．14．如图，在直三棱柱111ABCABC中，090,ACB11AAACBC，则异面直线1AB与AC所成角的余弦值是____________．15．设a、b是单位向量，其夹角为．若tab的最小值为12，其中tR．则______．16．在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，以A为球心半径为233的球面与正方体表面的交线长为___________。三、解答题17．已知直线l的方程为236xy（1）若直线m与l平行且过点13，，求直线m的方程；（2）若直线n与l垂直，且n与两坐标轴围成三角形面积为3,求直线n的方程。18．已知向量(4,3)a，(1,2)b.（1）求a与b的夹角的余弦值；（2）若向量ab与2ab平行，求的值.19．已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是60A、边长为2的菱形，又PDABCD底，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．第4页共19页（1）证明：DN//平面PMB；（2）证明：平面PMB平面PAD；（3）求二面角P-BC-D的余弦。20．如图，在组合体中，1111ABCDABCD是一个长方体，PABCD是一个四棱锥．2AB，3BC，点11PCCDD面且==2PDPC．（1）证明：PCAPD面；（2）求面PAB与面PCD所成锐二面角的正切值；（3）若1=aCC，当a为何值时，CP平面1ABD．21．已知向量(1,1)m，向量n与向量m的夹角为34，且1mn求向量n设向量(1,0)a，向量2(cos,2cos(-))32xbx，其中203x，若0na试求nb的取值范围.22．如图，在正三棱柱111ABCABC中，12,ABAAM为AB的中点，N为1AA的中点，1BC与1CB的交点为O,第5页共19页（1）求证：1CB1NC；（2）求直线CM与平面1BNC所成角的正弦值。2018-2019学年广东省深圳市宝安中学高一下学期期中考试数学（理）试题一、选择题1．已知倾斜角为的直线经过，两点，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：根据直线斜率坐标公式，可知4tan45112m-==-，解得3m=，故选A．【考点】直线的斜率做报表公式．2．过点3,1A且倾斜角为120的直线方程为A.34yxB.34yxC.323yxD.323yx【答案】B【解析】倾斜角为120的直线斜率为3.利用点斜式可得133yx.整理得34yx.故选B.3．下列四个命题中正确的是（）①若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；②若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；③垂直于同一平面的两个平面相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平45(2,4)A(1,)Bmm3351第6页共19页面也不垂直．A.①和③B.①和④C.①②和④D.①③和④【答案】B【解析】若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直，这是面面垂直的判定定理，故①正确若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，这里缺少了相交的条件，故②不正确，垂直于同一平面的两个平面也可以相交，故③不正确，若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直；④正确总上可知①和④正确，故选B.4．如图是一正方体被过棱的中点M、N和顶点A、D、C1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的正视图为（）【答案】B【解析】试题分析：棱DC1看不到，故为虚线；棱AM可以看到，故为实线；显然正视图为答案B。【考点】三视图。5．如图，平面平面，,,ABAB与两平面,所成的角分别为4和6，过,AB分别作两平面交线的垂线，垂足为,AB，若16AB，则AB.A4.B6.C8.D9【答案】C第7页共19页【解析】连接','ABAB，如下图所示：∵AB与两平面α、β所成的角分别为4和6即','46BABABA，又∵16AB∴'82,'83BBAB∴22''''8ABABBB故选C.6．已知两条直线,mn和两个不同平面,，满足，=l,//m,n,则A.//mnB.mnC.//mlD.nl【答案】D【解析】两条直线m,n和两个不同平面α,β,满足α⊥β,α∩β=l,m∥α，n⊥β，则m，n的位置关系是，平行，相交或异面，直线n与l的位置关系是垂直，如图：故选：D.7．已知向量1,2a，3,0b，若2//abmab，则m的值为A.37B.37C.2D.2【答案】C第8页共19页【解析】向量1,2a，3,0b.21,4,?3,2abmabmm.由2//abmab可知，1243mm解得2m.故选C.8．某几何体的正视图和侧视图如图①，它的俯视图的直观图是矩形1111OABC如图②，其中11116,2,OAOC则该几何体的体积为A.32B.64C.162D.322【答案】D【解析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，由俯视图的直观图为矩形1111OABC,且11116,2,OAOC，故底面直观图的面积为12，故底面面积1222242S，高h=4，故棱锥的体积13223VSh.故选：D.点睛：在已知图形中平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y'轴，且长度为原来的二分之一。斜二侧画法的面积是原来图形面积的24倍。9．已知向量a,b满足a2b0，aba2，则ab（）A.12B.12C.2D.2【答案】C【解析】由20ab得：2ab，又由2aba得2222bbb，得1b，则2222abbbb，故选C.10．点O在ABC所在平面内，给出下列关系式：（1）0OAOBOC；第9页共19页（2）OAOBOBOCOCOA；（3）0ACABBCBAOAOBACABBCBA；（4）()()0OAOBABOBOCBC．则点O依次为ABC的（）A．内心、外心、重心、垂心B．重心、外心、内心、垂心C．重心、垂心、内心、外心D．外心、内心、垂心、重心【答案】C【解析】【考点】三角形五心．分析：根据三角形五心的定义，结合向量数量积的几何意义，我们对题目中的四个结论逐一进行判断，判断出O点在△ABC中的特殊位置，即可得到答案．解答：解：由三角形“五心”的定义，我们可得：（1）时，O为△ABC的重心；（2）时，O为△ABC的垂心；（3）时，O为△ABC的内心；（4）时，O为△ABC的外心；故选C点评：本题考查的知识点是三角形的五心，三角形的“五心”是三角形中位置“特殊”的点，其性质常作用三角形性质的外延用于几何问题的证明，因此利用向量描述三角形五心的性质要求大家熟练掌握．11．已知O是正三角形ABC内部一点，且230OAOBOC,则OAB的面积与OAC的面积之比为（）A.32B.52C.2D.5【答案】A【解析】230OAOBOC，则变为220OAOCOBOC，如图D，E分别是对应边的中点，由平行四边形法则知2OAOCOE，224OBOCOD，故2OEOD，由于三角形ABC是等边三角形，故22113323AOCADCABCABCSSSS，又D，E是中点，故O到AB的距0OCOBOAOAOCOCOBOBOA0BABABCBCOBABABACACOA0)()(BCOCOBABOBOA第10页共19页离是正三角形ABC高的一半，所以12AOBABCSS，∴OAB的面积与的OAC面积之比为32，故选A.12．直角梯形ABCD，满足,,222ABADCDADABADCD,现将其沿AC折叠成三棱锥DABC，当三棱锥DABC体积取最大值时其外接球的体积为（）A.32B.43C.3D.4【答案】B【解析】试题分析：由于ABC确定，所以当DACABC面面时，三棱锥DABC体积取最大值，此时由于,CBAC所以,CBADC面因此,CBAD而CDAD，从而ADBCD面，即BDAD，因此AB中点到A,B,D三点距离相等，又,CBAC所以AB中点到A,B,C三点距离相等，从而AB中点到A,B,C,D四点距离相等，即AB为外接球的直径，所以外接球的体积为344.323AB（）选B.【考点】三棱锥外接球二、填空题13．直线331xy的倾斜角等于_________．【答案】34【解析】直线331xy的斜率为-1.设倾斜角为α，则有tanα1.所以3α4.直线331xy的倾斜角等于34.14．如图，在直三棱柱111ABCABC中，090,ACB11AAACBC，则异面直线1AB与AC所成角的余弦值是____________．【答案