第3章--振动系统的运动微分方程题解

45习题3-1复摆重P，对质心的回转半径为C，质心距转动轴的距离为a，复摆由水平位置无初速地释放，列写复摆的运动微分方程。解:系统具有一个自由度，选复摆转角为广义坐标，原点及正方向如如题4-1图所示。复摆在任意位置下，根据刚体绕定轴转动微分方程OOMJ其中)(22agPJCO得到复摆运动微分方程为cos)(22PaagPC或0cos)(22gaaC3-2均质半圆柱体，质心为C，与圆心O1的距离为e，柱体半径为R，质量为m，对质心的回转半径为C，在固定平面上作无滑动滚动，如题3-2图所示，列写该系统的运动微分方程。解：系统具有一个自由度，选为广义坐标。半圆柱体在任意位置的动能为：222121CCJmvT用瞬心法求Cv：2222*2)cos2()(ReReCCvC2CCmJ故2222221)cos2(21CmReRemT系统具有理想约束，重力的元功为题3-1图题3-2图46dmgeWsin应用动能定理的微分形式WdTdmgemReRemdCsin21)cos2(2122222dmgedmRedmRedRemCsinsincos2)(2222等式两边同除dt，sinsincos2)(2222mgemRemReRemC0，等式两边同除故微分方程为0sinsin)cos2(2222mgemReReRemC①若为小摆动sin，1cos，并略去二阶以上微量，上述非线性微分方程可线性化，系统微摆动的微分方程为0])[(22gerRC要点及讨论（1）本题也可以用平面运动微分方程求解。系统的受力图与运动分析图如图（b）所示。列写微分方程④③②sin)cos(2NeeRFmmgNymFxmCCC上述方程包含Cx，Cy，，F，N五个未知量，必须补充运动学关系才能求解。建立质心坐标与广义坐标之间的关系cossineRyeRxCC，sincoseyeRxCC所以⑥⑤22cossinsincoseeyeeRxCC运动学方程式⑤⑥与方程②③④联立，消去未知约束力N，F，就可以得到与式①相同的系统运动微分方程。因为在理想约束的情况下，未知约束力在动能定理的表达式中并不出现，所以用动能定理解决已知力求运动的问题更简便、直接。（2）本题也可用机械能守恒定律求解。系统的动能2222221)cos2(21CmReRemT47选半圆柱体中心O1所在平面为零势面，系统的势能cosmgeV由EVTEmgemReRemCcos21)cos2(2122222两边对时间t求导数，即可得到与式①相同的运动微分方程。3-3均质杆AB，长l，质量为m，沿光滑墙面滑下，如题3-3图所示。设水平面也为光滑的。列写该系统的运动微分方程。题3-3图解：系统具有一个自由度，选为广义坐标。系统在任一位置的动能为222121CCJmvT由瞬心法求质心的速度2lvC，2121mlJC，所以223121mlT系统的主动力图为图（a）所示。重力的元功为dlmgdmWCsin2rg由动能定理WdT所以dsinlmg)ml(d2312122系统的运动微分方程为023sinlg要点及讨论（1）平面运动刚体可用式2*21CJT计算刚体动能，式中2*mdJJCC为刚体对瞬心的转动惯量，d为质心与瞬心间的距离。在本题中质心的速度Cv也可用式222CCCyxv计算。其中48cos2sin2lylxCCsin2cos2lylxCC（2）所谓广义坐标应包含坐标值（线位移或角位移）、坐标原点、坐标正方向。广义坐标的选择一般不是唯一的，例如在本题中也可选杆与水平线的夹角为广义坐标，正方向如图（b）所示（顺时针），广义坐标选定后其它运动量（位移及位移的一阶、二阶导数）都根据广义坐标确定（包括大小与正方向）。如质心C的位移与速度，正方向应如图所示，大小分别为2lvC，dldrC2系统的动能223121mlT主动力的元功dlmgWcos2根据动能定理建立的方程为dlmgmldcos2)3121(22所以cos23lg“—”号说明当取正值时为负，即反时针方向。（3）本题也可用平面运动微分方程求解，读者试列出方程。3-4如题3-4图所示，均质圆柱体质量为m，半径为r，沿倾斜角为的三角块作无滑动滚动，质量为M的三角块置于光滑的水平面上。列写该系统的运动微分方程。题3-4图解：系统具有两个自由度，选rxx、为广义坐标。系统具有理想约束，且在水平方向的外力为零，所以系统机械能守恒：EVT492222221111[(cos)(sin)]2222rrrxTMxmxxxmrr22221111cos2224rrrMxmxmxmxxmx222131cos242rrMxmxmxmxxsinrVmgx，水平方向动量守恒。CpxCxxmxMr)cos(整理后可分别列写两个方程EmgxxxmxmxmMrrrsincos2321)(2122①CxxmxMr)cos(②式中①②为系统微分方程的首次积分，对时间t求导后，即可得到系统运动微分方程。23()sin[1]02coscosmMgxm要点及讨论（1）在理想约束的情况下，动能定理建立了系统的动能与主动力之间的关系，直接给出了系统的速度（或角速度）与位移（或角位移）之间的关系，对时间t求导一次可得到系统的运动微分方程。（2）用动能定理建立系统运动微分方程的步骤为：①分析系统受力，在理想约束的情况下只有主动力作功，所以一般在受力图上只画主动力。②建立广义坐标，确定其原点和正方向；分析系统运动，重点是分析速度（角速度），将速度（角速度）用广义速度表示。③计算系统在任意位置的动能，将动能表示为广义坐标、广义速度的函数。④计算力的功，若用积分形式动能定理，则计算主动力在有限路程上的功，若用微分形式的动能定理，则计算力的元功。⑤应用动能定理建立系统的受力与运动间的关系。（3）在理想约束、主动力又为势力的情况下，可用机械能守恒定律建立系统运动微分方程。（4）对于多自由度系统，如两个自由度系统，动能定理只给出一个方程，必须与其他定理，如动量定理或动量矩定理联合应用，才能得到另外一个方程。503-5题3-5图所示为刚性建筑模型。刚性基础质量为m，刚性建筑的质量为M，对质心C的转动惯量为IC。两刚体在O处铰接并附有刚度系数为k1的扭转弹簧。其他参数如图示。设地基有水平运动z(t)，试建立系统微幅运动微分方程。图中2,212cckk。解：应用牛顿矢量力学建立刚体运动的微分方程时，首先要画出每个刚体的受力图，如题3-5图(b)、(c)所示。对于图(b)，建立刚体的水平运动微分方程为OxFzxczxkxm)()((1)对于图(c)：建立刚体在铅垂平面内的运动微分方程为OxCFxM(2)MgFyMOyC(3)cossin1CaFaFkIOxOy(4)其中xC、yC及x均是对固定坐标系的坐标，同时考虑到微小运动的假说，于是有axaxxCsin(5)aayCcos(6)由方程(1)、(2)消去未知力，FOx并考虑式(5)得kzzckxxcMaxmM)((7)题3-5图51又由方程(2)、(3)和(4)消去未知力FOy、FOx，并考虑式(5)和(6)，得0)()(12MgakMaIxMaC(8)方程(7)和(8)为系统微幅运动微分方程，若令x和为确定系统位置的广义坐标，写为矩阵形式xq那么，方程(7)和(8)改写为矩阵形式如下：0)(00000)()(12kzzcxMgakkxcxMaIMaMamMC(9)由此例题可以看出，应用牛顿矢量力学建立系统的运动微分方程，一定要画受力图，于是必然要涉及未知约束力，因此较为繁琐，特别是该例中的组合刚体系统更是如此。然而对于多自由度系统，应用拉格朗日方程建立运动微分方程较为简单。另解：由动静法得,以整体为研究对象0X2()()cossin0mxMxkxzcxzMaMa以M为研究对象：0om1cossin0cMxaMaaIMgaksincos1很小＝，＝又忽略高阶小量2，所以以上两式化简后得：()()()0mMxMacxzkxz21()()0cMaxIMakMga化成矩阵形式为：0)(00000)()(12kzzcxMgakkxcxMaIMaMamMC523-6题3-6图所示两端简支的均匀梁，已知弯曲刚度为EI，单位长度的质量为m，分布载荷为F(y,t)。试用哈密顿原理求运动方程。解：若梁的挠曲函数为w(y,t)，则动能为ytywmTld),(2120(a)应变（势能）为ytywEIld),(2120(b)外力功为ytywtyFAld),(),(0(c)将式(a)、式(b)与式(c)代入变分式0Adδd)(δ2121ttTItttt(d)得到0ddδ),(ddδddδm000212121tywtyFtywwEItywwlttlttltt(e)对式(e)进行分部积分运算，得到0ddδ),(ddδ)(d]δ)[(d]δ)(ddδdδ000000212121212112tywtyFtywwEItwwEItwwEItywwmywwmlttlttlttlttlttttl(f)由于，21ttt时，哈密顿原理要求w=0，因而式(f)变为0ddδ),(ddδ)(d]δ)[(d]δ)(ddδ000002121212121tywtyFtywwEItwwEItwwEItywwmlttlttlttlttltt(f)因为，t1与t2区间的虚位移w不可能为零，由此，得到梁的边界条件0δ)(0δ)(00llWWCEIWmCEI(h)与运动方程),()(tyFwEIwm(i)两端简支的梁，显然是满足边界条件式(h)的。题3-6图533-7应用拉格朗日方程导出题4-7图所示系统的运动微分方程。题3-7图解：取各质量偏离其平衡位置的x1、x2、x3、x4为广义坐标。即4,3,2,1ixqii(1)则系统的动能24423322221121212121xmxmxmxmT(2)系统的势能为23442332122211)(21)(21)(2121xxkxxkxxkxkV(3)计算拉格朗日方程中的各项导数如下：4434344444444444343233442333