量子力学答案(第二版)苏汝铿第三章课后答案3.11-3#9

3.11设体系处在111210CYCY态，且22121CC，求：(i)力学量ˆZL的可能值和平均值；（ii）力学量2ˆL的本征值；（iii）力学量ˆxL和ˆyL的可能值。解：可让12||1,1|1,0CC表示体系所处的态。则有121ˆˆˆ||1,1|1,0|1,1zzzLLCLCC（i）ˆzL的可能值为和0，这是因为ˆ|,|,zLlmmlm。所以ˆzL的平均值为21ˆ||zLC（ii）由22ˆ|,1|,Llmlllm知2ˆL的本征值为22。（iii）|是2ˆL的本征值为22的本征态且有2ˆˆ,0iLL(,,)ixyz所以|也可以被2ˆL和ˆyL的且1l的共同本征态表出，即1,0,1||1,yymymam且有如下关系21,0,11yymma，ˆ|1,|1,yyyyLmmm所以ˆyL的可能值为,0,。有对称性知ˆzL的可能值也为,0,。3.12体系处在某一状态，在该状态中测量力学量2ˆL得到的值是26，测量力学量ˆzL得到的是，求测量ˆxL和ˆyL可能得到的值。解：由题设易知这个态为2ˆL和ˆzL的共同本征态，设这个状态为|,lm，则有222ˆ|,1|,6|,Llmlllmlm，ˆ|,|,|,zLlmmlmlm批注[JL1]:???yma应算出来，即由1C与2C表出。所以2l，1m，于是|,|2,1lm。根据与上题同样的理由，易知ˆxL和ˆyL的可能值都为2,,0。3.13证明算符,,0ˆˆˆˆˆ2nmmnnmnmPxxPOA（,nmA是实数）是厄米算符。证明：先证明ˆˆˆˆxPPx。对任意态矢|有ˆˆˆˆˆˆˆˆ||||xPxPPxPxˆˆˆˆ||xPxP这样就得到ˆˆˆˆ||xPPx因为|是任意的。所以就证明了ˆˆˆˆxPPx进而可得ˆˆˆˆnmmnxPPx同时又有ˆˆPP，ˆˆxx成立所以可得ˆˆˆˆˆˆnmmnnmxPPxPx于是,,,0,0ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ22nmmnmnnmnmnmnmnmPxxPxPPxOAAO证完。批注[JL2]:为什么对所有可能的本证态度一定会出现？