固体理论-1-周期性结构

固体理论固体理论——周期性结构周期性结构主讲翦知渐固体理论–周期性结构第一章周期性结构固体结构的一般性描述§0绪论§1格矢和基元§2布洛赫定理§3布里渊区和晶体的对称性§4周期势场中的函数§3布里渊区和晶体的对称性§4周期势场中的函数固体理论-绪论§0绪论固体理论的研究对象和特点返回研究对象固体：由大量原子结合而成的不会流动的宏观体系从导电性讲：导体、半导体、绝缘体复杂的相互作用多体系统：HHHHHH从晶格结构讲：晶态、准晶、非晶态、无系玻璃态研究方法H=He+HI+HI-I+He-e+He-I宏观现象→微观模型唯象论微论↓↓主要方法：量子场论的方法建立模型近似求解基态性质：元激发量子态（非纯态）量子平均唯象理论→微观理论建立模型→近似求解宏观性质：固体在外扰动作用下从基态跃迁到激发态量子态（非纯态）→量子平均多粒子（理想气体）→统计平均宏观性质：固体在外扰动作用下从基态跃迁到激发态时所产生的响应→微观 宏观解释固体的实验测量特性问题归结为：求解在给定外扰动作用下互作用系统的元激发问题——这是固体量子论的中心课题元激发固体理论-绪论返回元激发T=0K时，固体的基态不仅是能量昀低的状态而且还是某种有序态对于能量靠近基态的低激发状态往往看作成是些独立基而是某种有序态从微观角度分析，实验上所测得的宏观属性是固体在外扰动作用下从基态跃迁到激发态时所产生的响应对于能量靠近基态的低激发状态，往往可看作成是一些独立基本激发单元的集合，它们具有确定的能量和波矢，这些基本激发单元就是元激发有时也称为准粒子发单元就是元激发，有时也称为准粒子借助于元激发的引入，可以使复杂的多体问题简化为接近于理想气体的准粒子系统，从而使低激发态的描述变得十分简单想气体的准粒子系统从而使低激发态的描述变得十分简单„元激发大体可分为两类：一类是集体激发的准粒子：类是集体激发的准粒子：声子、磁振子、等离激元等，表现为序参量的微小涨落这类元激发一般为玻色子另一类元激发是个别激发：极化子、金属中的屏蔽电子或准电子基本近似固体理论-绪论返回基本似1.连续介质近似连续介质近似是将整个固体系统看作宏观意义下的均匀介质连续介质近似是将整个固体系统看作宏观意义下的均匀介质——不考虑原子及晶格结构的具体细节2.绝热近似考虑到离子实的质量比较大，离子运动速度相对慢，位移相对小，在讨论电子问题时，可以认为离子是固定在瞬时的位置上多种粒子的问题就简化成多电子问题——多种粒子的问题就简化成多电子问题3.单电子近似：把多体问题简化为单电子问题即单电子近似把多体问题简化为单电子问题，即单电子近似——对固体宏观特性起作用的所有电子具有相同特征单电子近似基于以下近似基础单电子近似基于以下近似基础1.原子核与核外内层电子考虑成一个整体2.假设离子实不动（绝热近似）3.忽略电子之间的交互作用（哈特里－福克自洽场方法）——用自洽场代替电子交换互作用固体理论-周期性结构-格矢和基元§1格矢和基元周期性结构的描述返回期性结构格矢1正格矢元胞体积格矢元胞选取不唯一维格纳-赛茨元胞固体理论-周期性结构-格矢和基元返回2倒格矢元激发的状态都是由波矢来描述的——引入波矢空间及相应的点阵，即倒点阵倒格矢元胞基矢——也称动量空间倒格子元胞倒格矢元胞基矢正格子与倒格子：倒格子元胞第一布里渊区（BZ），也称简约区中心为原点的倒格子空间的维格纳赛茨元胞中心为原点的倒格子空间的维格纳-赛茨元胞BZ具有晶格点阵点群全部的对称性正格子与倒格子对称性完全致正格子与倒格子对称性完全一致sc→sc，bcc→fcc，fcc→bcc平面六角格子的BZ固体理论-周期性结构-格矢和基元返回3对称性„微观对称性——平移对称性——晶格波恩卡门边界条件忽略表面效应对称性波恩-卡门边界条件——忽略表面效应„平移群从晶体内任一点平移N1a1、N2a2、N3a3将返回原处„平移群平移算符{e|Rl}：{e|Rl}r=r+Rl，{e|Rl}-1r=r–Rl{e|Rl}f(r)=f({e|Rl}-1r)=f(r–Rl){e|Rl}f(r)f({e|Rl}r)f(rRl)周期边界条件即：{e|Niai}={e|Niai}-1={e|0}共有N=N1N2N3个平移算符{e|ai}构成平移群——阿贝尔群„宏观对称性基元共有NN1N2N3个平移算符{e|ai}构成平移群阿贝尔群基元点群„晶系„晶系——宏观与微观对称性固体理论-周期性结构-布洛赫定理§2布洛赫定理周期性对固体性质的影响返回期性固体性质影对于周期性势场，单电子薛定谔方程的本征函数为——按格矢的周期函数调幅的平面波周期势场薛定谔方程解的形式：固体理论-周期性结构-布洛赫定理1证明：返回N（N=N1N2N3）个元胞的晶体满足波恩-卡门条件时具有平移对称性，由平移群描述由于N阶平移群的每个元素本身自成个共轭类(阿贝尔群)由于N阶平移群的每个元素本身自成一个共轭类(阿贝尔群){}{}{}{}mlmleeeRERRR||||1=−因此平移群有N个不可约表示但因为：NnN=∑2因此，平移群有N个不可约表示，但因为：Nn=∑=1αα所以平移群的N个不可约表示都是一维表示设ψ(r)是一维表示的基函数，则{}{}{})()|()()|()(|1raarraraψψψψjjjjeDee=+==−设ψ()是维表示的基函数，则D是表示的一维矩阵——实际上也就是一个数D是表示的维矩阵——实际上也就是个数{}{})()(0|)(|)(1rrrarψψψψ===−eNeDjjNjj=1,2,3)2iexp(1jNnDDjπ=⇒=其中n=012因所以)2iexp(1jNDDπ=⇒=其中nj0,1,2,…所以{})()()(|3322111aaarRrrRlllell+++=+=−ψψψ3⎤⎡由此可得)()/(2iexp31rψ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑=jjjjNnlπ固体理论-周期性结构-布洛赫定理在倒逆空间中定义一个波矢∑≡3jjnbk返回在倒逆空间中定义个波矢∑=1jjjNbk{})()()(|i1rRrrRkRkkψψψleElkl⋅−=+=——布洛赫定理则上式变为{})()()(|kkψψψlkl由D定义的k可作为平移群不可约表示的标记以上方程可理解为平移算符的本征方程exp(ik·Rl)是它的第k个本征值从上式进一步可得)(i)()(irrrkψ⋅−=eu)()]([i)(irRrrkRrkψψ⋅−+⋅−=+eelkl如果令)()(ψ可得)()(rRrkkuul=+——正点阵的周期函数布洛赫函数为布洛赫函数为)iexp()()(rkrrkk⋅=uψ布洛赫函数是由晶体的平移对称性导出的凡属周期性结布洛赫函数是由晶体的平移对称性导出的，凡属周期性结构中的波函数都应具有布洛赫函数的形式固体理论-周期性结构-布洛赫定理返回2布洛赫定理的相关说明(1)仅仅是平移对称性的结果，与作用量形式无关线性方程、作用量平移不变（如微分算子）、周期性介质(2)金属中的电子波函数——布洛赫定理成立弹性介质中的声波——声子晶体电磁波——光子晶体格波格波自旋波(3)k的意义(3)k的意义波矢——标明波的传播方向及波长ħk——量子化后，作用量子的动量ħk量子化后，作用量子的动量(4)倒格子空间k在倒格子空间中取值，非连续取值：k=∑njbj/Njk在倒格子空间中取值，非连续取值：k∑njbj/Nj倒格子空间与实空间具有同样的对称性固体理论-周期性结构-布洛赫定理(5)k取值的非唯一性与代表同个点对应相同的本征值返回k与k+Kn代表同一个点：对应相同的本征值exp(ik·Rl)表示同一个k态→k取值限于第一布里渊区（任意两个波矢之差小于一个→k取值限于第布里渊区（任意两个波矢之差小于个昀短的倒格矢的区域，体积为Ω*）→N个简约波矢（-πkaiπ，i=1,2,3）(6)能带结构波函数（H与{e|Rl}的共同本征函数）及能量本征值与k有关i,,Hψ()E(k)ψ()两边同乘(ik)可得H=-ħ22/2m+VHψk(r)=E(k)ψk(r)，两边同乘exp(-ik·r)，可得Hkuk(r)=E(k)uk(r)，相当于做了规范变换：H=exp(-ik·r)Hexp(ik·r)=H+ħ2k2/2m–(iħ2/m)k·因为Hkuk(r)=E(k)uk(r)中，uk(r)=uk(r+Rl)对于固定的k，薛定谔方程可简化为在一个元胞内求解Hkexp(-ikr)Hexp(ikr)H+ħk/2m–(iħ/m)k对于固定的，薛定谔方程可简化为在个元胞内求解这样就变成了有限区域内的厄米本征值问题——分立的能级E1(k),E2(k),……12每个确定的k描述一套能级{En(k)}和状态{ψnk(r)}——k局限于BZ——以k=0为中心的W-S元胞固体理论-周期性结构-布洛赫定理k和k+Kn代表同一个状态，对应相同的能量——同一点返回和n代表同个状态，对应相同的能量同点若取以Kn为中心的W-S元胞求解，可得到另一套能级和波函数，与以k=0为中心的结果等效ψn,k+Kn=ψn,k，En(k+Kn)=En(k)波函数，与以k0为中心的结果等效虽然在BZ外无新状态，但依据上式，k可取值于全空间——而波函数与能量本征值都是倒格子的周期函数确定n值的En(k)是倒格子的周期函数故而能量有界，因而同一n而不同k的所有能级包括在界内——形成一个能带不同的n而代表不同的能带(7)周期结构中的一切波的能谱（频谱）都成带——布洛赫定理(8)k是守恒量：确定的k，电子运动不被散射固体理论-周期性结构–布里渊区和晶体的对称性§3布里渊区和晶体的对称性返回空间群包含平移、旋转、反射、滑移反映、螺旋轴等对称操作空间群的元素→操作算符：{α|t}r≡αr+t间群的元素操作算符{|}其中α代表旋转、反映等点群对称操作，t代表平移({e|Rl})——平移群({|l})({α|0})——点群{α|τ}——螺旋轴或滑移反射面算符相乘：{α|t}{β|s}={αβ|αs+t}其逆元素：{α|t}-1={α-1|-α-1t}晶体空间群的定义：包括平移群作为不变子群的{α|t}的元素集合因为有：{α|t}{e|R}{α|t}-1={e|αR}不变子群条件要求αRl仍为正格矢，即点阵经旋转等点群操作后应与自身重合这就限制了晶体中只可能出现2346次旋转因为有：{α|t}{e|Rl}{α|t}1={e|αRl}应与自身重合，这就限制了晶体中只可能出现2、3、4、6次旋转轴——晶体空间群成为有限群固体理论-周期性结构–布里渊区和晶体的对称性1布里渊区（BZ）中En(k)的对称性返回布里渊区）中n()的对称性设晶体属于空间群{α|t}，则晶体的汉密顿H应与{α|t}对易即H对于空间群{α|t}的一切操作是不变的，有对称性：{}{}HH=−tt||1αα可以证明：{}1||),(|)(2][==λαλαrtrkknnψψ可以证明：{}||),(|)(,][,αkknnψψ可求出d)()()(3][,*][,rrkkknnnrHE=∫ψψααα{}{}d)()(d)(||)(3*3,1*,rrrttrkkkknnrHrH==∫∫−ψψψψαα)(d)()(,,krrkknnnErH=∫ψψ是只属于该晶体空间群的点群操作α是只属于该晶体空间群的点群操作在每一能带中如果把能量En(k)看作布里渊区中“位置k”的函数它便具有点阵点群{|0}的全部对称性此即简单空间群数，它便具有点阵点群{α|0}的全部对称性，此即简单空间群中En(k)的对称性固体理论-周期性结构–布里渊区和晶体的对称性例：二维正点阵BZ为正方形保持变的点群为Kyπ/amdC4返回保持BZ不变的点群为4mm(C4v)，有8个操作对于BZ中某个矢量k进行上述π/akk2kk3d4e对于BZ中某个矢量k1，进行上述点群操作后，它变为k2,k3,k4,k5,k6,k7,k8.，这8个点在同一能带中Kxk1k5k4kmyeπ/a-π/a6,7,8，这个点在同能带中有相同的能量：xk6k75k8mxC42)(...)()(821kkknnnEEE===()的简并度md’C43-π/a