贝叶斯公式

§6.全概率公式与贝叶斯公式解：B=AB+ĀB且AB与ĀB互不相容。P(B)=P(AB+ĀB)=P(AB)+P(ĀB)=P(A)P(B|A)+P(Ā)P(B|Ā)=0.7×0.95+0.3×0.8=0.905PABPABPB()(|)()PAPBAPAPBAPAPBA()(|)()(|)()(|)07095070950308......0735.例1市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70％，乙厂占30％，甲厂产品的合格率是95％，乙厂的合格率是80％若用事件A，Ā分别表示甲、乙两厂的产品，B表示产品为合格品。求市场上买一个灯泡的合格率，及买到合格灯泡是甲厂生产的概率。定理1(全概率公式)若事件A1,A2,…构成一个完备事件组并且都具有正概率，则对任何一个事件B,有iiiPBPAPBA()()(|)证：A1,A2,…两两互斥，故A1B,A2B,…两两互斥BB且iiBA()iiAB＝由加法法则iiPBPAB()()再由乘法法则iiiPABPAPBA()()(|)iiiPBPAPBA()()(|)故定理2(贝叶斯公式)若事件A1,A2,…构成一个完备事件组，且都具有正概率，则对任何一个概率不为零的事件B,有mmmiiiPAPBAPA|BPAPBA()(|)()()(|)mmPABPABPB＝证：()(|)()mmiiiPAPBAPAPBA()(|)()(|)＝各原因下条件概率已知求事件发生概率求是某种原因造成得概率事件已发生全概率贝叶斯例2设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正。一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4。(1)该射手任取一支枪射击，中靶的概率是多少？(2)若任取一支枪射击，结果未中靶，求该枪未校正的概率。解：设A表示枪已校正，B表示射击中靶3PA5(),则2PA5()PBA09(|).PBA01(|).PBA04(|).PBA06(|).1PBPAPBAPAPBA()()()(|)()(|)32090455..07.＝PAPBA2PABPAPBAPAPBA()(|)()(|)()(|)()(|)206523060155...08.例3有三个同样的箱子，A箱中有4个黑球1个白球，B箱中有3个黑球3个白球，C箱中有3个黑球5个白球。现任取一箱，再从中任取一球，求(1)此球是白球的概率(2)若取出的是白球，求它取自B箱的概率。解：用A、B、C表示A、B、C三个箱子取球用D表示取出的是白球。则A、B、C是完备事件组。1PAPBPC3()()()且115PDAPDBPDC528(|)(|)(|)1PDPAPDAPBPDBPCPDC()()()(|)()(|)()(|)111115353238531200442.PBPDB2PBDPAPDAPBPDBPCPDC()(|)()(|)()(|)()(|)()(|)113211111535323820530378.4PA0410().例4(抽签的公正性)设10支签中有4支难签。甲、乙、丙依次不放回的抽取。求各人抽到难签的概率。解：分别用A、B、C表示甲、乙、丙抽到难签。PBPAPBAPAPBA()()(|)()(|)4364109109369004.PCPABPCABPABPCABPABPCABPABPCAB()()(|)()(|)()(|)()(|)PAPBAPCABPAPBAPCABPAPBAPCABPAPBAPCAB()(|)(|)()(|)(|)()(|)(|)()(|)(|)4324636436436541098109810981098109828872004.例5设验血诊断某种疾病的误诊率仅为5％，即若用A表示验血阳性，B表示受验者患病，则PABPAB5(|)(|)%。若受检人群中仅有0.5％患此病，即P(B)=0.005。求一个验血阳性的人确患此病的概率。PBPABPBAPBPABPBPAB解：()(|)(|)()(|)()(|)000509500050950995005......0087.若有10000人受检，患病者仅50人，其中验血阳性约47.5人而9950健康人中，验血阳性者为9950×0.05＝497.5人§7独立试验概型(一)事件的独立性故若A独立于B，则B也独立于A,称事件A与事件B相互独立。PAPAB()(|)若PABPB()()PABPBPA()()()则PBA(|)关于独立性有如下性质：定义1若事件发生的可能性不受事件B发生与否的影响，即P(A|B)=P(A),则称事件A独立于事件B。定义2若n(n2)个事件A1,…,An中任何一个事件发生的可能性都不受其它一个或几个事件发生与否的影响，称A1,A2,…,An相互独立。(1)事件A与B独立的充分必要条件是P(AB)=P(A)P(B)证：必要性若A与B中有一个事件概率为零，结论成立。设A与B的概率都不为零，由独立性P(B|A)=P(B)而由乘法法则可得P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B)充分性设P(B)0,则PABPABPB()(|)()PAPBPB()()()=P(A)即A与B独立。(2)若事件A与B独立，则A与B，A与B，A与B中的每一对事件都相互独立。证：PABPAAB()()PAPAB()()PAPB()()类似可证其它两对事件独立。=P(A)-P(A)P(B)=P(A)(1-P(B))由(1)可知，A与B独立。(3)若事件A1,A2,…,An相互独立，则有P(A1…An)=P(A1)…P(An)证：P(A1…An)＝P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1…An-1)12n1n1n4AAAPAA1PAPA若事件相互独立，则有＝－(),,...,(...)()...()而P(A2|A1)=P(A2),…,P(An|A1…An-1)=P(An)故P(A1…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)n1n1由于A,...，A对立，A,...证,A：也对立1nnPAA1(...)1＝－P(A+...+A)1n1PAA(...)1n1PAPA()...()例1设甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0.9和0.8。求一次射击中，目标被击中的概率。解：分别用A,B表示甲、乙击中目标。目标被击中，即至少有一人击中，即A+BA与B独立。故P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.9+0.8-0.9×0.8=0.98或由性质(4)=0.98PAB1PAPB()()()=1-0.1×0.2例2一名士兵用步枪射击飞机，命中率为0.004。求：(1)若250名士兵同时射击，飞机被击中的概率。(2)多少名士兵同时射击，才能使飞机被击中的概率达到99％？解：用Ai表示第i名士兵击中飞机，P(Ai)＝0.004125012501PAA1PAPA()(...)()...()25010996.063.2n()设要名士兵同时射击1n1nPAA1PAPA(...)()...()＝n10996.＝0.99即0.996n＝0.01001n0996lg.lg.故1150例3甲、乙、丙3部机床独立工作，由一个工人照管，某段时间内它们不需要工人照管的概率分别为0.9，0.8及0.85。求在这段时间内有机床需要工人照管的概率以及机床因无人照管而停工的概率。解：用A、B、C分别表示在这段时间内机床甲、乙、丙不需要照管。则A、B、C相互独立，且P(A)=0.9P(B)=0.8P(C)=0.85PABC()PABC()1PABC()1PAPBPC()()()10908085...0388.PABBCAC()PABPBCPAC2PABC()()()()0102020150101520102015.........0059.例4甲、乙、丙三人独立射击一个目标，命中率分别为0.4，0.5，0.7，若只有一人击中，目标被摧毁的概率是0.2，若二人击中，则目标被摧毁的概率是0.6，若三人都击中，目标一定被摧毁。若目标被摧毁，求它是一人摧毁的概率。解：用Ai表示有i个人击中目标，i=0,1,2,3用B表示目标被摧毁。P(B|A0)=0P(B|A1)=0.2P(B|A2)=0.6P(B|A3)=1P(A0)=0.6×0.5×0.3=0.09P(A1)=0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7=0.36P(A2)=0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7=0.41P(A3)=0.4×0.5×0.7=0.143iii0PBPAPBA()()(|)＝＝0.458例5在四次独立试验中，A至少出现一次的概率为0.59，求A至多出现一次的概率。解：设在一次试验中A出现的概率为p则A至少出现一次的概率为4444k1Pk1P011p059()()().故(1-p)4=0.411-p=0.8p=0.2A至多出现一次的概率为：P4(0)+P4(1)41341pCp1p()()=0.82413408C0208...例10(分赌注问题)甲、乙各下注a元，以猜硬币方式赌博，五局三胜，胜者获得全部赌注。若甲赢得第一局后，赌博被迫中止，赌注该如何分？解法一：12每局双方获胜的可能性均为。应按照比赛双方最终获胜的可能性分赌注。即在余下的四局中甲赢得2局以上即可。甲最终获胜的概率为P4(2)+P4(3)+P4(4)2234234411111CC222221116516乙胜的概率为，赌注应按11：5的比例分配。解法二：一般情况下不必比到第五局，有一方赢得三局即中止。甲方在第三局结束赌博获得胜利的概率为231PB2()14甲方在第四局结束赌博获胜的概率为142111PBC222()14甲方在第五局结束赌博获胜的概率为2153111PBC222()316故甲方最终获胜的概率为P(B3+B4+B5)=P(B3)+P(B4)+P(B5)1116赌注应按11：5的比例分配。例6(赛制的选择)在体育比赛中，若甲选手对乙选手的胜率是0.6，那么甲在五局三胜与三局两胜这两种赛制中，选择哪个对自己更有利。解：在五局三胜赛制中，甲获胜的概率为P5(3)+P5(4)+P5(5)33244555C0604C060406.....=0.6826在三局两胜赛制中，甲获胜的概率为P3(2)+P3(3)2233C060406...=0.648甲应选择五局三胜制。