固体物理答案第六章1

第六章晶体中电子的输运性质6.1用紧束缚方法可以导出体心立方晶体s态电子的能带为2akcos2akcos2akcos8JAEkEzyxats（1）试求能带顶部和底部的电子有效质量；（2）试画出沿方向，和的曲线。xk0kkzyxkExkv解：（1）由能带的表示式及余弦函数的性质可知，当0kkkzyx时，sE取最小值，即0kkkzyx是能带底，电子有效质量为2s20k2xs22xxa2JkEmi同理可得2s2zz2s2yya2Jm,a2Jm其他交叉项的倒数全为零。而在布里渊区边界上的a2π0,0,,,0a2π0,,,0,0a2π处是能带顶，电子的有效质量为2s2zzyyxxa2Jmmm其他交叉项的倒数也全为零。（2）在能带底部0kkkzyx时2s2zzyyxxa2Jmmm当0kkzy时2kxa4Jasinkvx2kxa8JcosAEkEatsx它们的曲线如图所示。xkE8JAatsE8JAatsExk0xka2πa2πa2πa2πaπaπ4Ja4Ja6.2已知一维晶体的电子能带可写成cos2ka81coska87makE22式中是晶格常数。试求a（1）能带的宽度；（2）电子在波矢的状态时的速度；k（3）能带底部和顶部电子的有效质量。解：（1）能带宽度为minmaxEEΔE由极值条件0dkkdE得0sinkacoska21sinkasin2ka41sinka上式的唯一解是的解，0sinka此式在第一布里渊区内的解为aπ0,k当时，取极小值，且有0kkEminE00EEmin当时，取极大值，且有0kkEmaxE22maxma2aπEE由以上可得能带宽度为22minmaxma2E-EΔE（2）由sin2ka41sinkamadkkdE1v（3）由0kk0E1kv式，可得电子的速度222kE1m1可求得带顶和带底电子的有效质量分别为式，m32cos2ka21coskamkEmaπk1aπk222aπkmcos2ka21coskamkEmk1k222k20006.3设晶格势场对电子的作用力为LF，电子受到的外场力为eF，证明：LeeFFFmm因为证明：mvp为电子的动量，LeFFFdtdvm总另一方面，加速度dtdkdkdvdtdva(1)(2)而速度dkdEhv1代入(2)式，并应用关系式eFdtdkh所以有可得*2221mFFdkEdhdtdvee(3)式中222*/dkEdhm为电子的有效质量。联合(1)(3)两式，即得LeeFFFmm*6.4证明：对于能带中的电子，k状态和k状态的速度大小相等，方向相反，即kvkv并解释为什么无外场时，晶体总电流等于零。态的电子速度为证明：kkkkEjkkEikkEhkEhkvzyxk11(1)于是kkkEjkkEikkEhkvzyx1(2)即因为能量kE是波矢k的偶函数，kEkE，xxkkEkkEyykkEkkEzzkkEkkE代入(2)式，有kkkEjkkEikkEhkvzyx1因此对比(1)式，即得kvkv电子占有某个状态的几率只同该状态的能量有关。因为kEkE，电子占有kk状态和状态的几率相同。而由kvkv知道，这两个状态的电子电流互相抵消，因此，无外场时，晶体中总电流为零。6.5应用紧束缚方法于一维单原子链，如只计及最近邻原子间的相互作用，(1)证明其s态电子的能带为akJEkE21sin42min式中，minE为能带底部的能量；J为交迭积分.(2)求能带的宽度及能带底部和顶部附近的电子的有效质量。证明：结果可写成最近邻nsnRsnRRkiJeAEkE20(1)（1）在一维情况下，用紧束缚近似讨论晶体电子的能量，式中sR和nR分别代表参考原子及其最近邻的位矢。在一维原子链中，只有两个最近邻。选取参考原子为坐标原点，0sR，则两个最近邻的位矢可分别记为aaRn,，此处a为原子间距。由于交迭积分snJ对两个最近邻是相等的，记为J，便得kaikaieeJAEkE220kaJAE2cos20kaJEkaJJAE2min20sin4sin42(2)式中JAEE20min代表能带底的数值。（2）从上式可知，当ak2/1时，能量取最大值JAEE20max这就是能带顶的数值，故能带宽度JEEE4minmax在能带底附近，k值很小，kakasin，(2)式可写成*22min2min24bmkhEkaJEkE此处222*8aJhmb为能带底部电子的有效质量。显然，0*bm，即能带底部电子的有效质量为正值。在能带顶附近，0,21kkak，代入(2)式，并应用泰勒级数公式展开，得kaJAEkaJAEkE2cos22cos2002*2max222max24kmhEkaJEt式中222*8aJhmt为能带顶部电子的有效质量，因为0J，故0*tm，即能带顶部电子的有效质量为负值。6.6设二维正三角形晶格中原子间距为a，只计最近临电子间的kE相互作用试根据紧束缚近似的结果，求出能量的表达式，并计算相应的电子速度kv和有效质量各个分量ijm。若只计及最近邻的相互作用，用紧束缚近似法处理晶体中解：s态电子的能量，其结果是snRRRkiJeAEkEnsn最近邻20式中sR和nR分别是参考原子及其各个最近邻的位矢。在二维正三角形晶格中，有6个最近邻(如图)。如选取参考原子为坐标原点，即0sR，6个最近邻2a3,2a,2a3,2a,2a3,2a2a3,2a,a,0,a,0的坐标分别为对于s态电子，各个最近邻的交迭积分皆相等，xoyaJJsn，则得令)k3a(ki)k3a(ki)k3a(ki)k3a(kiaki2aki20yxyxyxyxxxeeeeeeJAEkEππππππyakiyakix0ak3cos2eak3cos2eak2cos2JAExxπππππxxxakakakJAE3coscos22cos20至于速度kv，可按如下方法求得yxxxxakakakhaJkEhv3cossin2sin41yxyyakakhaJkEhv3sincos341所以jak3sinakcos3iak3cosaksinaksin2haJ4kvyxyxxππππππ其次，由公式jiijkkEhm2211可求得有效质量各分量为yxxxxakakakhJam3coscos2cos241222yxyyakakhJam3coscos121222yxyxxyakakhJamm3sinsin34112226.7试根据5.10题的结果，求面心立方晶格中能带底附近电子的有效质量。解：能带底即的最小值对应的为，kEsk0,0,0可得在能带底处电子的有效质量为2s20k2xxs22xxa2JkEmi同理可得2s2zz2s2yya2Jm,a2Jm其他交叉项的倒数全为零。a6.8已知某简立方晶体的晶格常数为，其价电子的能带BakcosakcosakAcosEzyx（1）已测得能带顶电子的有效质量222am，试求参数A；（2）求出能带宽度；（3）求出布里渊区中心点附近电子的状态密度。解：一、假定A大于0（1）对于能带为BakcosakcosakAcosEzyx简单立方晶体中的电子，其能带顶在布里渊区中心。在布里渊区中心，电子的有效质量为220k2i22AakEmi由此可知A=2。（2）电子能带Bakcosakcosak2cosEzyx的能带底在aπ,aπ,aπ处。由带顶和带底的能量得知能带宽度为4。（3）在布里渊区中心附近，0,kBakcosakcosak2cosEzyxB2ak12ak12ak122z2y2xB2ak2ak2ak122z2y2x22kaB2令E2BE，则上式化为22kaE可见在布里渊区中心附近，等能面是球面。因此，能量和能量两等能面间的波矢空间体积为EEdEdkk42πV23cπ相应的量子态数目EdE2Ba2πVdkk42π2Vdz2132c23cπ能态密度21E2Ba2πVENEN32c二、假定A小于0（1）对于能带为BakcosakcosakAcosEzyx简单立方晶体中的电子，其能带顶在第一布里渊区8个角顶处aπ,aπ,aπ在这些点，电子的有效质量为22aπk2i22AakEmi由此可知A=-2。（2）电子在能带顶的能量B2E。在布里渊区中心能带底的能量B2E。可见能带宽度为4。（3）在布里渊区中心附近，0,kBakcosakcosak2cosEzyxB2ak12ak12ak122z2y2xB2ak2ak2ak122z2y2x22kaB2令B2EE，则上式化为22kaE可见在布里渊区中心附近，等能面是球面。因此，能量和能量两等能面间的波矢空间体积为EEdEdkk42πV23cπ相应的量子态数目EdB2Ea2πVdkk42π2Vdz2132c23cπ能态密度21B2Ea2πVEN32c6.9设电子的等能面323222221212222mkhmkhmkhE外加磁场H相对于能量椭球主轴的方向余弦分别为、、。（1）写出电子的运动方程；（2）证明电子绕磁场回转的频率可写成cmEh其中213212322211mmmmmmm因为电子的运动速度解：Ehvk1加速度dtdEhEhdtddtvdkk11(1)（1）由于单位时间内电子能量的增加，等于力在单位时间内所作的功，设外力为恒力F，FEhvFdtsdFdtdEk1代入(1)式得