有限元-伽辽金法

第九章用伽辽金法导出有限元方程9.1伽辽金方法一、加权余量法当微分方程不易求得精确解时，可以用加权余量法求得一个近似解。例如一维微分方程12Du(x)0,x(a,b)Bu0,x=aBu0,x=b（D为一维微分算子）假定u(x)为上微分方程的精确解，为近似解。u(x)Du(x)R(x)0R(x)—余量~~1a~2bDurRxBuRBuR9.1伽辽金方法一、加权余量法x定理：E(x)0x(a,b),对任意连续函数ba(x)E(x)dx0E(x)Du(x)若将换成，微分方程的等效积分形式：12Du(x)0,x(a,b)Bu0,x=aBu0,x=b12x,x,xbbb1122aaa(x)Du(x)dx+(x)Budx+(x)Budx09.1伽辽金方法一、加权余量法12x,x,xbbb1122aaa(x)Du(x)dx+(x)Budx+(x)Budx012x,x,xbbb1122aaa(x)Du(x)dx+(x)Budx+(x)Budx012x,x,xbbb12aaa(x)()dx+(x)()dx+(x)()dx0abRxRxRx满足边界条件u(x)12x,x,xba(x)()dx0Rx9.1伽辽金方法一、加权余量法12x,x,xba(x)()dx0Rx1122nnxCwxCwxCwxbiaw(x)R(x)dx0（i=1，2，…，n，…）iwx—权函数权函数的取法可以是各种各样的，从而得到不同的加权余量法，常用的方法包括配点法、子域法、最小二乘法、力矩法和伽辽金法。9.1伽辽金方法一、加权余量法biaw(x)R(x)dx0（i=1，2，…，n，…）与miii1ux=uxcNxuxiNx是已知函数当m=n时，则可确定出待定系数ci9.1伽辽金方法二、伽辽金法biaw(x)R(x)dx0（i=1，2，…，n，…）miii1ux=uxcNxuxiNx是已知函数iiwx=Nx取权函数，就得到了含有m个未知量的代数方程组biaNR(x)dx0（i=1，2，…，m）伽辽金法9.1伽辽金方法二、伽辽金法例：用伽辽金法求解下二阶常微分方程220(01)0001duuxxdxuxux解：2121122ux=(1)(1)()()cxxcxxcNxcNx122()=(1)()(1)NxxxNxxx2223122Rx=(2)(26)duuxxcxxcxxxdx9.1伽辽金方法二、伽辽金法2223122Rx=(2)(26)duuxxcxxcxxxdxiiwx=NxbiaNR(x)dx0（i=1，2，…，m）伽辽金法122()=(1)()(1)NxxxNxxxb22312ab222312a(1)(2)(26)dx0(1)(2)(26)dx0xxxcxxcxxxxxxcxxcxxx11222()()=(1)()()(1)wxNxxxwxNxxx(m=2)9.1伽辽金方法二、伽辽金法b22312ab222312a(1)(2)(26)dx0(1)(2)(26)dx0xxxcxxcxxxxxxcxxcxxx120.19240.1707ccux=(1)(0.19240.1707)xxxx=0.25x=0.5x=0.750.044010.069750.060060.044080.069440.06008uxux9.2二维稳态热传导微分方程对于二维稳态热传导，各向同性热传导微分方程提法为2222Q=0(x,y)xyQ—质量密度—单位质量热源物质在单位时间内的生热率—热传导系数边界条件1（给定温度边界）,xx,yynnq2,xx,yynnh3（给定热流边界）（对流换热边界）xyn,n边界外法线单位向量n的方向余弦热流量对流换热系数环境温度9.3二维稳态热传导有限元方程一、有限元方程有n个结点的一个单元内的温度场设为neeeiii1x,yNx,yNiNx,yei结点形函数结点温度1nNNTeN形函数矩阵1en单元结点温度列阵1232222xyxyRQxyR0RnnqxyRnnhxy微分方程的余量9.3二维稳态热传导有限元方程一、有限元方程23e23rrrNRdNRdsNRds012,,,rn23e231r2r3rwRdwRdswRds012,,,rn1r2r3rw,w,wrrrNNNeee22r22rrrrrNQdxyNNNNdNQdxxyyxxyy2222RQxyxyBPdPdxBdyBnPndsxyyxdxndsdyndserrrxryrNNNnNndsNQdxyxxyy9.3二维稳态热传导有限元方程一、有限元方程ee22r22rrrxryrNQdxyNNNnNndsNQdxyxxyy23rxryrxryrxryNnNnds=NnNndsNnNndsxyxyxy10上e23e22r22rxryrxryrrrNQdxyNnNndsNnNndsxyxyNNNQdxxyy9.3二维稳态热传导有限元方程一、有限元方程e23e22rrxryrxry22rrrNQdNnNndsNnNndsxyxyxyNNNQdxxyy23e23rrrNRdNRdsNRds012,,,rn23xyxyRnnqxyRnnhxy22rxyrNnnds-Nqdsxy33rxyrNnnds-Nhdsxye23rrrrrNNNQd-Nqds-Nhds0xxyy9.3二维稳态热传导有限元方程一、有限元方程e23rrrrrNNNQd-Nqds-Nhds0xxyye23rrrrrNNNQdNqdsNhds0xxyyee233errrrerrNNdQNdqNdsxxyyNhdsNhds0eeeNNNeex,yN12,,,rne3e23TTeTeeTeTeTdhdsxxyyQdqds+hdseeeeeNNNNNNNNN9.3二维稳态热传导有限元方程一、有限元方程e3e23TTeTeeTeTeTdhdsxxyyQdqds+hdseeeeeNNNNNNNNNe3TTeTdhdsxxyyeeeeeNNNNNNeKe23eeTeTeTQdqds+hdsNNNF热传导刚度矩阵温度载荷列阵eeeK=Fe3essrrrsrsNNNNKdhNNds,r,s=1,,nxxyye23errrrFNQdqNdsNhdsr=1,,n2222Q=0xy1,xx,yynnq2,xx,yynnh39.3二维稳态热传导有限元方程一、有限元方程e3TTeTdhdsxxyyeeeeeNNNNNNeKe23eeTeTeTQdqds+hdsNNNFe3essrrrsrsNNNNKdhNNds,r,s=1,,nxxyyrsrsKeHessrrrsNNNNKdr,s=1,,nxxyy3rsrshNNds,r,s=1,,neHeeKH9.3二维稳态热传导有限元方程二、三结点三角形单元(,),iiixy(,),jjjxy(,)mmmxy单元结点温度列阵1e23(,)2iiiiabxcyNxyAi、j、mijmNNNeN[]ieeeijmjmNNNN9.3二维稳态热传导有限元方程二、三结点三角形单元(,)2iiiiabxcyNxyAi、j、m(,)()22rrrrrNxyabxcybxxAA(,)()22rrrrrNxyabxcycyxAA,,rijmessrrrsNNNNKdr,s=,,xxyyijmessrrrsrsrseNNNNKdbbccxxyy4A9.3二维稳态热传导有限元方程二、三结点三角形单元e3TTeTdhdsxxyyeeeeeNNNNNNeKeeKHeTTdxxyyeeeeNNNNeKessrrrsrsrseNNNNKdbbccxxyy4Ar,s=,,ijm22222244jiijimiijimijjjmijjjmmimmmimjmbbbbbcccccbbbbbcccccAAbbbbbccccceK热传导刚度矩阵9.3二维稳态热传导有限元方程