新编基础物理学第三章习题解答

习题三3-1一汽车发动机的转速在7.0s内由1200rmin均匀地增加到13000rmin。(1)求在这段时间内的初角速度和末角速度以及角加速度；(2)求这段时间内转过的角度；(3)发动机轴上装有一半径为0.2mr的飞轮，求它的边缘上一点在第7.0s末的切向加速度和法向加速度。解(1)初角速度为102200/6020.9(rads)末角速度为123000/60314(rads)角加速度为2031420.941.9(rads)7.0t(2)转过的角度为22301120.97.041.97.01.1710(rad)186()22tt圈(3)切向加速度为28.38(ms)ar法向加速度2421.9710(ms)nar3-2如题图3-2所示，在边长为a的正方形的顶点上，分别有质量为m的4个质点，质点之间用轻质杆连接，求此系统绕下列转轴的转动惯量：(1)通过其中一个质点A，并平行于对角线BD的转轴；(2)通过质点A并垂直于质点所在平面的转轴。解(1)B、D两位置质点到轴的垂直距离为22raC处质点到轴的垂直距离为2ra22222()(2)32Jmamama(2)B、D两位置质点到此轴的垂直距离为a，C处质点到此轴的垂直距离仍为2a2222(2)4Jmamama3-3如题图3-3所示，一根均匀细铁丝，质量为m，长度为L，在其中点O处弯成120角，放在xOy平面内，求铁丝对Ox轴、Oy轴、Oz轴的转动惯量。题图3-3题图3-2解：（1）对x轴的转动惯量为：2022201d(sin60)d32LxmJrmllmLL（2）对y轴的转动惯量为：20222015()(sin30)d32296LymLmJllmLL（3）对z轴的转动惯量为：22112()32212zmLJmL3-4电风扇开启电源后经过5s达到额定转速，此时角速度为每秒15rs，关闭电源后经过16s风扇停止转动，已知风扇转动惯量为20.5kgm，且摩擦力矩fM和电磁力矩M均为常量，求电机的电磁力矩M。解：由定轴转动定律得1fMMJ即11252520.50.54.12(Nm)516fMJMJJ3-5一质量为m的物体悬于一条轻绳的一端，绳另一端绕在一轮轴的轴上，如题图3-5所示．轴水平放置且垂直于轮轴面，其半径为r，整个装置架在光滑的固定轴承之上．当物体从静止释放后，在时间t内下降了一段距离s．试求整个轮轴的转动惯量(用mrts、、和表示)．解：设绳子对物体(或绳子对轮轴)的拉力为T，则根据牛顿运动定律和转动定律得mgTma①JTr②由运动学关系有ar③由①、②、③式解得2(-)Jmgara④又根据已知条件00v所以212sat22sat⑤将⑤式代入④式得TrTamg解图3-5题图3-522(1)2gtJmrs3-6一轴承光滑的定滑轮，质量为2.00kg,M半径为0.100m,R一根不能伸长的轻绳，一端固定在定滑轮上，另一端系有一质量为5.00kg,m的物体，如题图3-6所示．已知定滑轮的转动惯量为212JMR，其初角速度1010.0rads，方向垂直纸面向里．求：(1)定滑轮的角加速度的大小和方向；(2)定滑轮的角速度变化到0时，物体上升的高度；(3)当物体回到原来位置时，定滑轮的角速度的大小和方向。解：(1)由牛顿第二定律和转动定律列方程mgTmaTRJaR解得2222281.7(rads)122mgRmgRmgmRJmMRmRMR方向垂直纸面向外(2)由运动学方程得2202当0时rad612.0220所以物体上升的高度26.1210mhR(3)当物体回到原来位置时1210.0rads方向垂直纸面向外.3-7如题图3-7所示，质量为m的物体与绕在质量为M的定滑轮上的轻绳相连，设定滑轮质量2Mm，半径为R，转轴光滑，设00tv时，求：（1）下落速度v与时间t的关系；（2）4st时，m下落的距离；（3）绳中的张力T。题图3-7题图3-6解：(1)设物体m与滑轮间的拉力大小为T，则mgTma①212MTRJMR②aR③atv④由①②③式解得24.9msa，并代入④式得4.9tv（2）设物体下落的距离为s，则22114.9439.2(m)22sat（3）由（1）的①式得4.9NTmgma3-8如题图3-8所示，一个组合滑轮由两个匀质的圆盘固接而成，大盘质量110kgM，半径0.10mR，小盘质量24kgM，半径0.05mr。两盘边缘上分别绕有细绳，细绳的下端各悬质量122kgmm的物体，此物体由静止释放，求：两物体12,mm的加速度大小及方向。解：设物体12,mm的加速度大小分别为12,,aa与滑轮的拉力分别为12,,TT1111Tmgma①2222mgTma②1ar③2aR④21MTRTrJ⑤22121122JMRMr⑥把数据代入，解上述各式得210.6125msa方向向上221.225msa方向向下3-9如题图3-9所示，一倾角为30°的光滑斜面固定在水平面上，其上装有一个定滑轮，若一根轻绳跨过它，两端分别与质量都为m的物体1和物体2相连。（1）若不考虑滑轮的质量，求物体1的加速度。（2）若滑轮半径为r，其转动惯量可用m和r表示为2Jkmr题图3-9题图3-8（k是已知常量），绳子与滑轮之间无相对滑动，再求物体1的加速度。解：设物体1、物体2与滑轮间的拉力分别为1T、2T它们对地的加速度为a。（1）若不考虑滑轮的质量，则物体1、物体2与滑轮间的拉力1T、2T相等，记为T。则对1、2两物体分别应用牛顿第二定律得0sin30mgTmaTmgma解上两式得/4ag方向竖直向下。（2）若考虑滑轮的质量，则物体1、物体2与滑轮间的拉力1T、2T不相等。则对1、2两物体分别应用牛顿第二定律，和对滑轮应用刚体定轴转动定律得1mgTma①02sin30Tmgma②ar③12MTrTrJ④2Jkmr⑤解上述各式得2(2)gak方向竖直向下。3-10一飞轮直径为0.3m，质量为5.0kg，边缘绕有绳子，现用恒力拉绳子的一端，使其由静止均匀地绕中心轴加速，经0.5s转速达110rs，假定飞轮可看作实心圆柱体，求：（1）飞轮的角加速度及在这段时间内转过的转数；（2）拉力及拉力所做的功；（3）从拉动后10ts时飞轮的角速度及轮边缘上一点的速度和加速度。解：（1）角加速度为221021.2610(rads)0.5t转过的角度为222111.26100.515.7(rad)22t转过的圈数为2.52N圈（2）由转动定律MfRJ得220.550.151.261047.1(N)0.15JfR力矩做的功为0d47.10.1515.7111(J)WMM（3）角速度为2311.2610101.2610(rads)t边缘一点的线速度为3210.151.26101.8810(ms)Rv边缘一点的法向加速度为226520.151.26102.3710(ms)naR边缘一点的切向加速度为220.151.261018.84(ms)aR3-11物体质量为3kg,0t时刻位于14m,6(ms)riijv，如一恒力5Nfj作用在物体上，求3s后，（1）物体动量的变化；（2）相对z轴角动量的变化。解：（1）由动量定理可知，动量的增量为3100d5d15kgmstPftjtj（2）由角动量定理可知，角动量的增量为030ddttLMtMt①而()Mrtf②22000015()()()()()(4)(6)26xyrtxtiytjxtiytatjtittjvv③5fj④把③④代入②解得(205)Mtk⑤把⑤代入①解得：332100d(205)d82.5kgmsLMttktk3-12水平面内有一静止的长为L、质量为m的细棒，可绕通过棒一末端的固定点在水平面内转动。今有一质量为12m、速率为v的子弹在水平面内沿棒的垂直方向射向棒的中点，子弹穿出时速率减为12v，当棒转动后，设棒上单位长度受到的阻力正比于该点的速率（其中比例系数为k）试求：（1）子弹穿出时，棒的角速度0为多少？（2）当棒以转动时，受到的阻力矩fM为多大？（3）棒从0变为012时，经历的时间为多少？解：（1）以子弹和棒组成的系统为研究对象。取子弹和棒碰撞中间的任一状态分析受力，子弹与棒之间的碰撞力f、'f是内力。这一对相互作用力对同一转轴来说，其力矩之和为零。因此，可以认为棒和子弹组成的系统对转轴的合外力矩为零，则系统对转轴的角动量守恒。022222mLmLJvv213JmL解上述两式得038Lv（2）设在离转轴距离为l处取一微元dl，则该微元所受的阻力为dddfklkllv该微元所受的阻力对转轴的力矩为2dddfMlfkll则细棒所受到的总阻力矩为23001dd3LLffMMkllkL（3）由刚体定轴转动定律得3d1d3fMJJkLt即上式可化为3d1d3JkLt对上式两边分别积分得00320d1d3tJkLt解上式积分得2333ln213ln2ln23JmtmLkLkLkL3-13如题图3-13所示，在光滑水平面上有一木杆，其质量11.0kgm，长40cml，可绕通过其中心并与之垂直的轴转动。一质量为210gm的子弹，以212.010msv的速度射入杆题图3-13端，其方向与杆及轴正交。若子弹陷入杆中，试求杆的角速度。解根据角动量守恒定律222()22llmJmv杆的转动惯量21112Jml代入222121[()]2122llmmlmv解得1212629.1rads(3)mmmlv3-14如题图3-14所示，一质量为m的小球由一绳索系着，以角速度0在无摩擦的水平面上，做半径为0r的圆周运动。如果在绳的另一端作用一竖直向下的拉力，使小球做半径为0r2的圆周运动。试求：(1)小球新的角速度；(2)拉力所做的功。解(1)根据分析，小球在转动过程中，角动量守恒0011JJ220001()2rmrm解得104(2)根据转动动能定理，拉力做的功等于小球转动动能的增量2222110000113222WJJmr3-15如题图3-15所示，一长为2l、质量为M的匀质细棒，可绕棒中点的水平轴O在竖直面内转动，开始时棒静止在水平位置，一质量为m的小球以速度u垂直下落在棒的端点，设小球与棒作弹性碰撞，问你碰撞后小球的反弹速度v及棒转动的角速度各为多少？解：取垂直纸面向里为角动量L正向，则系统初态角动量为mul，终态角动量为J（棒）和mlv（小球），由角动量守恒定律得mulJmlv①因为是弹性碰撞，系统机械能守恒，可得222111222mumJv②题图3-15题图3-14又2211(2)123JMlMl③联立式①，②，③解得336(3)MmuMmmuMmlv3-16一长为L、质量为m的匀质细棒，如题图3-16所示，可绕水平轴O在竖直面内旋转，若轴光滑，今使棒从水平位置自由下摆（设转轴位于棒的一端时，棒的转动惯量213JmL）。求：（1）在水平位置和竖直位置棒的角加速度；（2）棒转过角时的角速度。解：（1）由刚体定轴转动定律MJ得细棒在水平位置的角加速度为232