全国初中数学联赛试题及答案

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2001年全国初中数学联合竞赛试题2006年全国初中数学联赛决赛试卷2006年全国初中数学联赛决赛试卷答案2007年全国初中数学联赛决赛试卷2008年全国初中数学联合竞赛第一试答案2008年全国初中数学联合竞赛第二试2008年全国初中数学联合竞赛第二试答案2009年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题(本题满分42分,每小题7分)1.设71a,则32312612aaa()A.24B.25C.4710D.47122.在△ABC中,最大角∠A是最小角∠C的两倍,且AB=7,AC=8,则BC=()A.72B.10C.105D.733.用[]x表示不大于x的最大整数,则方程22[]30xx的解的个数为()A.1B.2C.3D.44.设正方形ABCD的中心为点O,在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个,它们的面积相等的概率为()A.314B.37C.12D.475.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,以BC为直径在矩形内作半圆,自点A作半圆的切线AE,则sinCBE=()A.63B.23C.13D.10106.设n是大于1909的正整数,使得19092009nn为完全平方数的n的个数是()A.3B.4C.5D.6二、填空题(本题满分28分,每小题7分)1.已知t是实数,若,ab是关于x的一元二次方程2210xxt的两个非负实根,则22(1)(1)ab的最小值是____________.2.设D是△ABC的边AB上的一点,作DE//BC交AC于点E,作DF//AC交BC于点F,已知△ADE、△DBF的面积分别为m和n,则四边形DECF的面积为______.3.如果实数a、b满足条件221ab,22|12|21ababa,则a+b=____.4.已知a、b是正整数,且满足15152()ab是整数,则这样的有序数对(a,b)共有_____对.DABCEFQEPHNMACBFEI1I2DBAC第二试(A)一、(本题满分20分)已知二次函数2(0)yxbxcc的图象与x轴的交点分别为A、B,与y轴的交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P.(1)证明:⊙P与y轴的另一个交点为定点.(2)如果AB恰好为⊙P的直径且2ABCS△=,求b和c的值.二、(本题满分25分)设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高,1I、2I分别是△ADC、△BDC的内心,AC=3,BC=4,求1I2I.三、(本题满分25分)已知,,abc为正数,满足如下两个条件:32abc①14bcacababcbccaab②证明:以,,abc为三边长可构成一个直角三角形.第二试(B)一、(本题满分20分)题目和解答与(A)卷第一题相同.二、(本题满分25分)已知△ABC中,∠ACB=90°,AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证:EF∥AB.三、(本题满分25分)题目和解答与(A)卷第三题相同.2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试:ACCBDB;-3,2mn,-1,-7FEI1I2DBAC第二试(A)一、解:(1)易求得点C的坐标为(0,)c,设1A(,0)x,2B(,0)x,则12xxb,12xxc.设⊙P与y轴的另一个交点为D,由于AB、CD是⊙P的两条相交弦,它们的交点为点O,所以OA×OB=OC×OD,则121xxcOAOBODOCcc.因为0c,所以点C在y轴的负半轴上,从而点D在y轴的正半轴上,所以点D为定点,它的坐标为(0,1).(2)因为AB⊥CD,如果AB恰好为⊙P的直径,则C、D关于点O对称,所以点C的坐标为(0,1),即1c.又222121212()4()44ABxxxxxxbcb,所以21141222ABCSABOCb△,解得23b.二、解:作1IE⊥AB于E,2IF⊥AB于F.在直角三角形ABC中,AC=3,BC=4,22AB=AC+BC5.又CD⊥AB,由射影定理可得2AC9AD=AB5,故16BD=ABAD5,2212CD=ACAD5.因为1IE为直角三角形ACD的内切圆的半径,所以1IE=13(ADCDAC)25.连接D1I、D2I,则D1I、D2I分别是∠ADC和∠BDC的平分线,所以∠1IDC=∠1IDA=∠2IDC=∠2IDB=45°,故∠1ID2I=90°,所以1ID⊥2ID,1113IE325DIsinADIsin455.同理,可求得24IF5,242DI5.所以1I2I=2212DIDI2.三、证法1将①②两式相乘,得()()8bcacababcabcbccaab,即222222()()()8bcacababcbccaab,即222222()()()440bcacababcbccaab,即222222()()()0bcacababcbccaab,即()()()()()()0bcabcacabcababcabcbccaab,即()[()()()]0bcaabcabcabcabcabc,即222()[2]0bcaababcabc,即22()[()]0bcacababc,即()()()0bcacabcababc,所以0bca或0cab或0cab,即bac或cab或cba.因此,以,,abc为三边长可构成一个直角三角形.证法2结合①式,由②式可得32232232214abcbccaab,变形,得222110242()4abcabc③又由①式得2()1024abc,即22210242()abcabbcca,代入③式,得110242[10242()]4abbccaabc,即16()4096abcabbcca.3(16)(16)(16)16()256()16abcabcabbccaabc3409625632160,所以16a或16b或16c.结合①式可得bac或cab或cba.因此,以,,abc为三边长可构成一个直角三角形.第二试(B)一、解答与(A)卷第一题相同.二、解:因为BN是∠ABC的平分线,所以ABNCBN.又因为CH⊥AB,所以CQNBQH90ABN90CBNCNB,因此CQNC.又F是QN的中点,所以CF⊥QN,所以CFB90CHB,因此C、F、H、B四点共圆.又FBH=FBC,所以FC=FH,故点F在CH的中垂线上.同理可证,点E在CH的中垂线上.因此EF⊥CH.又AB⊥CH,所以EF∥AB.三、解答与(A)卷第三题相同.

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