近世代数复习

1一、选择题(每题2分,共16分)1.若(),Gaordan,（）则下列说法正确的是2.假定是A与()AAA间的一一映射,Aa,则)]([1a和)]([1a分别为3.若G是群,,()18,aGorda则8()orda4.指出下列那些运算是二元运算5.设12,,,nAAA和D都是非空集合,而f是12nAAA到D的一个映射,那么6.设是正整数集合N上的二元运算,其中max(,)abab,那么在Z中7.在群G中,Gba,,则方程bax和bya分别有唯一解为8.设H是群G的子群,且G有左陪集分类{,,,}HaHbHcH.如果[:]6GH,那么G9.设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有（）个元素。10.设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R，则是从A到B的11.设Z15是以15为模的剩余类加群，那么，Z15的子群共有（）个。12、G是12阶的有限群，H是G的子群，则H的阶可能是13、下面的集合与运算构成群的是14、关于整环的叙述，下列正确的是15、关于理想的叙述，下列不正确的是16.整数环Z中，可逆元的个数是17.设M2(R)=dcbaa,b,c,d∈R，R为实数域按矩阵的加法和乘法构成R上的二阶方阵环，那么这个方阵环是18.设Z是整数集，σ(a)=为奇数时当为偶数时当a,21aa,2a，Za，则σ是R的19、设A={所有实数x}，A的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A到A的一个子集的同态满射的是().20、设是正整数集Z上的二元运算，其中max,abab（即取a与b中的最大者），那么在Z中（）21.设3S={（1），（12），（13），（23），（123），（132）}，则3S中与元（123）不能交换的元的个数是()22、设,G为群，其中G是实数集，而乘法:ababk，这里k为G中固定的常数。那么群,G中的单位元e和元x的逆元分别是（）23、设H是有限群G的子群，且G有左陪集分类,,,HaHbHcH。如果H6,那么G的阶G16.整数环Z中，可逆元的个数是().24、设12:fRR是环同态满射，()fab，那么下列错误的结论为（）225.设A={所有非零实数x},A的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A到A的一个子集A的同态满射的是().26.在3次对称群S3中，阶为3的元有().27．剩余类环Z6的子环有().28、设cba,,和x都是群G中的元素且xacacxbxcax,12，那么x（）二、填空题(每题2分,共22分）1.设,AB是集合,2,3AB,则可共定义个从A到B的映射,其中有个单射,有个满射,有个双射.2.设群G,12,G若存在,aG()6,orda则2()orda,子群3()Ha在G中的指数是.3.设()Ga且11G,则群G的非平凡子群的个数为.4.在模9的剩余类环9{[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8]}Z中,9[5][8],9[5][8],方程2[1]x的所有根的集合为.5.环12{[0],[1],[2],[3],[4],[5][6][7],[8],[9],[10],[11]}Z，，的全部零因子为.6.在5次对称群5S中,(14)(135),1(12345),(352)ord.7.整数加群Z是一个循环群,它的生成元为.8.设集合{1,0,1},{,}ABab,则AB.9.如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则aff1.10.设集合A有一个分类，其中iA与jA是A的两个类，如果jiAA，那么jiAA.11.一个有限非交换群至少含有个元素.12.如果是集合A的元间的一个等价关系,,ab是两个等价类,则ab的充要条件是.11.设G是p阶循环群(p是素数),则G的生成元有个.12.群G的元a的阶是n,若d是正整数r和n的最大公因子,则ra的阶是.13.在无零因子环R中,如果对Rba,有0ab,那么必有.14.某个非空集合上具有对称性、传递性和的一个二元关系是等价关系．15.设5-循环置换(31425),那么1.16.设群G中元素a的阶为m,如果nae,那么m与n之间存在的关系为.17.设集合{,,},{1,2}AabcB,则有BA.18.设集合A有一个分类,其中iA与jA是A的两个类,如果ijAA,那么ijAA.19.环12{[0],[1],[2],[3],[4],[5][6][7],[8],[9],[10],[11]}Z，，的全部零因子为.320.在模9的剩余类环9{[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8]}Z中,方程2[1]x的所有根的集合为.21.一个有限非交换群至少含有个元素.22.剩余类加群Z12有_________个生成元.23、设群G的元a的阶是n，则ak的阶是________.24.6阶循环群有_________个子群.25、设G为群，aG，若12a，则8a_______________。26.模8的剩余类环Z8的子环有_________个.27.设A={a,b,c}，则A到A的一一映射共有__________个.28、n次对称群Sn的阶是——————。29、9-置换728169345987654321分解为互不相交的循环之积是————。30.剩余类环Z6的子环S={［0］,［2］,［4］}，则S的单位元是____________.31.24Z中的所有可逆元是：__________________________.32、凯莱定理的内容是：任一个子群都同一个________同构。33.设()Ga为循环群，那么（1）若a的阶为无限，则G同构于__，（2）若a的阶为n，则G同构于___。34.在整数环Z中，23=__________________；35.设12,AA为群G的子群，则21AA是群G的子群的充分必要条件为___________。36、除环的理想共有____________个。37.剩余类环Z5的零因子个数等于__________.38、已知1234531254为5S上的元素，则1＝_。31.每一个有限群都与一个__群同构。39.整数加群Z有__________个生成元.40、设Z11是整数模11的剩余类环，则Z11的特征是_________.41.设群G=｛e，a1，a2，…，an-1｝，运算为乘法，e为G的单位元，则a1n=___.42.剩余类环Zn是域n是_________.43、设Z7={0，1，2，3，4，5，6}是整数模7的剩余类环，在Z7[x]中,(5x-4)(3x+2)=________.三、判断题(每空2分,共12分)1.群中的元的阶都有限的群一定是有限群.2.如果H是群G的一个非空子集,则H是群G的子群的充分必要条件是,abHabH.3.设N是群G的不变子群,则aGnNanna,有.4.设H是有限群G的子群,则H的左陪集个数与右陪集个数相等.5.如果一个集合A的代数运算同时适合结合律和交换律,那么在12naaa里,元的次序可以掉换.6.域F的每一个元素皆有逆元.7.任意集合与其真子集之间皆不能有一一映射存在.8.若12,HH都是群G的子群,则12HH也是群G的子群.49.整除关系是整环Z的元素间的一个等价关系.10.CS002是CM2的子域..11.循环群有且仅有一个生成元.12.无限群中存在阶是有限的元素.13.如果非空集合A的代数运算同时适合结合律和交换律,则在12naaa里,元的次序可以掉换.14.设环R的加群是循环群,那么环R必是交换环.15.设H是有限群G的子群,则H的左陪集个数与右陪集个数相等.16、设A、B、D都是非空集合，则BA到D的每个映射都叫作二元运算。17、除环中的每一个元都有逆元。18、如果循环群aG中生成元a的阶是无限的，则G与整数加群同构。19、如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。20、域是交换的除环。21、在环同态下，零因子的象可能不是零因子。22、设f：GG是群G到群G的同态满射，a∈G，则a与f(a)的阶相同。23、一个集合上的全体一一变换作成一个变换群。24、循环群的子群也是循环群。25、整数环是无零因子环，但它不是除环。26、一个环若没有左零因子，则它也没有右零因子。27、只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射1f。28、如果环R的阶2，那么R的单位元10。29、指数为2的子群不是不变子群。（）30、有限群G中每个元素a的阶都整除群G的阶。31、对于环R,若a是R的左零因子,则a必同时是R的右零因子.32、剩余类mZ是无零因子环的充分必要条件是m为素数.四、证明题（共20分)1.设,,,,1abGabcdZadbccd,101xHxZ,证明:(1)G对普通乘法做成群.(2)HG,但H不是G的正规子群.2.{,,(,)1}22nnmmZnNm证明:集合关于数的加法运算和乘法运算构成整环3.,,,(,)1,,.GabGambnmnabbaabmn设是群,,若证明：4.6.证明阶交换群是循环群5.证明4Z关于通常的数的加法与乘法构成一个没有单位元的交换环.6．在群中,对任意,方程与都有唯一解.57．全体可逆的阶方阵的集合()关于矩阵的乘法构成一个非交换群.这个群的单位元是单位矩阵.每个元素(即可逆矩阵)的逆元是的逆矩阵.8．，。那么H是3S的一个子群。9．一个群G的一个不空有限子集H作成G的一个子群的充分而且必要条件是：10．设是所有阶可逆矩阵关于矩阵的乘法构成的群.是所有行列式等于1的阶矩阵所组成的集合.则是的子群.11．群的任何两个子群的交集也是的子群.12．设为的子群.则在中左陪集的个数与右陪集的个数相同.13．有限群的任一元素的阶都是群的阶数的因子.14．设与为群,是与的同构映射,则(1)如果为的单位元,则为的单位元;(2)任给,为的逆元,即15．如果是交换群,则的每个子群都是的正规子群.16．设为群的子群.若,那么.17．设,,则.18．群的任何两个正规子群的交还是的正规子群.19设为环.证明的中心是的子环.20设与是群,是到的满同态.如果是的正规子群,则是的正规子群.21．设，的阶为，证明的阶是，其中。22．设是循环群，G与同态，证明是循环群。23．证明循环群的子群也是循环群。24．假定和是一个群G的两个元，并且，又假定的阶是，的阶是，，证明：的阶是。25．假定H是G的子群，N是G的不变子群，证明HN是G的子群。26．设是一个环,如果有单位元,则的单位元是唯一的.的单位元常记作.27、设R为实数集，,,0abRa，令(,):,,abfRRxaxbxR，将R的所有这样的变换构成一个集合(,),,0abGfabRa，试证明：对于变换普通的乘法，G作成一个群。28．全体偶数关于通常的数的加法与乘法构成一个没有单位元的交换环.29、设群G的每个元素x都适合方程x2=e，这里e是G的单位元，求证：G是交换群。30．证明数集关于数的加法与乘法构成一个有单位元的交换环.31．在一个无零因子环中,两个消去律成立.即设,,如果,或,则.632、群G的两个子群的交集还是G的子群。33．证明为域.34、设R是阶大于1的交换环。证明：当R不含零因子时，R[x]亦然。35．在一个没有零因子的环里所有不等于零的元对于加法来说的阶都是一样的。36、若R环的特征为素数p,且R可交换,则有,bppbabaRba,.37．如果无零因子环的特征是有限整数，那么是一个素数。38、求证：若a生成一个n阶循环群G，k与