18年高考真题——理科数学(全国1卷)

第1页共6页2018年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（全国I卷）一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．设121izii，则||z（）（A）0（B）12（C）1（D）22．已知集合2|20Axxx，则RAð（）（A）|12xx（B）|12xx（C）|1|2xxxx（D）|1|2xxxx3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番。为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如右饼图。则下面结论中不正确的是（）（A）新农村建设后，种植收入减少（B）新农村建设后，其他收入增加了一倍以上（C）新农村建设后，养殖收入增加了一倍（D）新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．设nS为等差数列na的前n项和，若3243SSS，12a，则5a（）（A）12（B）10（C）10（D）125．设函数321fxxaxax，若fx为奇函数，则曲线yfx在点0,0处的切线方程为（）（A）2yx（B）yx（C）2yx（D）yx6．在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB（）（A）3144ABAC（B）1344ABAC（C）3144ABAC（D）1344ABAC7．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（）（A）334（B）233（C）324（D）328．设抛物线C：24yx的焦点为F，过点2,0且斜率为23的直线与C交于,MN两点，则FMFN（）（A）5（B）6（C）7（D）89．已知函数0ln0xexfxxx，gxfxxa。若gx存在2个零点，则a的取值范围第2页共6页是（）（A）1,0（B）0,（C）1,（D）1,10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边,ABAC。ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III。在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记为123,,ppp，则（）（A）12pp（B）13pp（C）23pp（D）123ppp11．已知双曲线C：2213xy，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为,MN。若OMN为直角三角形，则||MN（）（A）32（B）3（C）23（D）412．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（）（A）334（B）233（C）324（D）32二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．若,xy满足约束条件220100xyxyy，则32zxy的最大值为________。14．记nS为数列na的前n项和，若21nnSa，则6S_____________。15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种。（用数字填写答案）16．已知函数2sinsin2fxxx，则fx的最小值是__________。三．解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：60分。17．（本小题12分）在平面四边形ABCD中，090ADC，045A，2AB，5BD。⑴求cosADB；⑵若22DC，求BC。18．（本小题12分）如图，四边形ABCD为正方形，,EF分别为,ADBC的中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C到达点P的位置，且PFBF。⑴证明：平面PEF平面ABFD；⑵求DP与平面ABFD所成角的正弦值。第3页共6页19．（本小题12分）设椭圆C：2212xy的右焦点为F，过F的直线l与C交于,AB两点，点M的坐标为2,0。⑴当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；⑵设O为坐标原点，证明：OMAOMB。20．（本小题12分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品。检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为01pp，且各件产品是否为不合格品相互独立。⑴记20件产品中恰有2件不合格品的概率为fp，求fp的最大值点0p；⑵现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以⑴中确定的0p作为p的值。已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用。①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？21．（本小题12分）已知函数1lnfxxaxx。⑴讨论fx的单调性；⑵若fx存在两个极值点12,xx，证明：12122fxfxaxx。（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题10分）在直角坐标系xOy中，曲线1C的方程为||2ykx。以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为22cos30。⑴求2C的直角坐标方程；⑵若1C与2C有且仅有三个公共点，求1C的方程。23．[选修4—5：不等式选讲]（本小题10分）已知|1||1|fxxax。⑴当1a时，求不等式1fx的解集；⑵若0,1x时不等式fxx成立，求a的取值范围。第4页共6页2018年普通高等学校招生全国统一考试（I卷）解答一．选择题CBABDAADCABA二．填空题13．6；14．63；15．16；16．33217．解：⑴在ABD中，由正弦定理得sinsinBDABAADB，故052sin45sinADB，得2sin5ADB。由题设知，090ADB，所以223cos1sin5ADBADB；⑵由题设及⑴知，2cossin5BDCADB。在BCD中，由余弦定理得2222cos25BCBDDCBDDCBDC，所以5BC。18．证明：⑴由题BFPF，BFEF，又PFEFF，故BF平面PEF。又BF平面ABFD，所以平面PEF平面ABFD；⑵作PHEF，垂足为H。由⑴得，PH平面ABFD。以H为坐标原点，HF的方向为y轴正方向，||BF为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz。由⑴知DEPE，又2DP，1DE，故3PE。又1PF，2EF，故PEPF。可得32PH，32EH。则0,0,0H，30,0,2P，31,,02D，331,,22DP，且30,0,2HP为平面ABFD的法向量。设DP与平面ABFD所成角为，则343sin||4||||3HPDPHPDP为所求。19．解：⑴由已知得1,0F，l：1x。由题可知1,22A或1,22A，故22AMk，所以AM的方程为222yx；⑵当l与x轴重合时，00OMAOMB；当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以OMAOMB；当l与x轴不重合也不垂直时，设l：10ykxk，1122,,,AxyBxy，则12x，22x，直线,MAMB的斜率之和为12121212112222MAMBkxkxyykkxxxx第5页共6页12121223422xxxxkxx。由22112ykxxy得2222214220kxkxk，故2122421kxxk，21222221kxxk，因此2212122222423423402121kkxxxxkk，从而0MAMBkk，故,MAMB的倾斜角互补，所以OMAOMB。综上，OMAOMB。20．解：⑴由题可知1822201fpCpp，因此1817222021181fpCpppp1722021101Cppp。令0fp，得0.1p。当0,0.1p时，0fp；当0.1,1p时，0fp。所以fp的最大值点为00.1p；⑵由⑴知0.1p。①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知180,0.1YB，202254025XYY，所以40254025490EXEYEY；②如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元。由于400EX，故应该对余下的产品作检验。21．解：⑴fx的定义域为0,，222111axaxfxxxx。①若2a，则0fx，当且仅当21ax时0fx，故fx在0,单调递减；②若2a，令0fx得，242aax。当2402aax或242aax时0fx，当224422aaaax时0fx。所以fx在22440,,,22aaaa单调递减，在2244,22aaaa单调递增；⑵由⑴知，fx存在两个极值点当且仅当2a。因fx的两个极值点12,xx满足210xax，故121xx。不妨设12xx，则21x。因1212212121222lnln2ln1121fxfxxxxaaxxxxxxxx，故1222122122ln0fxfxaxxxxx。设函数12ln1gxxxxx，由⑴知gx在0,单调递减，而10g，故1x时0gx。故22212ln0xxx，即12122fxfxaxx。第6页共6页22．解：⑴由cosx，siny得2C的直角坐标方程为22230xyx，即2214xy；⑵由⑴知2C是圆心为1,0A，半径为2的圆。由题知，1C是过点0,2B且关于y轴对称的两条射线。记y轴右边的射线为1l，y轴左边的射线为2l。由于B在圆2C的外面，故1C与2C有且仅有三个公共点等价于1l与2C只有一个公共点，且2l与2C有两个公共点；或2l与2C只有一个公共点，且1l与2C有两个公共点。当1l与2C只有一个公共点时，A到1l所在直线的距离为2，所以2|2|21kk，故43k或0k。经检验，当0k时，1l与2C没有公共点；当43k时，1l与2C只有一个公共点，2l与2C有两个公共点。当2l与2C只有一个公共点时，A到2l所在直线的距离为2，所以2|2|21kk，故43k或0k。经检验，当0k时，1l与2C没有公共点；当43k时，2l与2C没有公共点。综上，所求1C的方程为4||23yx。23．解：⑴当1a时2121121xfxxxx，故不等式1fx的解集为1|2xx；⑵