黄昆固体物理习题-第四章-能带理论

4.1根据状态简并微扰结果,求出与及相应的波函数及,并说明它们的特性,说明它们都代表驻波,并比较两个电子云分布说明能隙的来源(假设).2nnVV解：令,简并微扰波函数取带入上式,其中nVkEE0第四章习题参考解答,从上式得到,于是取得到由教材可知,及均为驻波。电子波矢时,电子波的波长恰好满足布拉格发射条件，这时电子波发生全反射，并与反射波形成驻波由于两驻波的电子分布不同，所以对应不同能量。4.1题解答完毕4.2写出一维近自由电子近似，第n个能带（n=1,2,3）中简约波矢的零级波函数解：一维近自由电子近似中，用简约波矢表示的波函数(为简约波矢)代入得到对于第一个能带第n个能带零级波函数：简约波矢：则有对于第二个能带：对于第三个能带4.2题解答完毕4.3电子在周期场中的势能函数且a=4b，是常数。（1)画出此势能曲线，并计算势能的平均值；（2)用近自由电子模型计算晶体的第一个和第二个带隙宽度。解：由已知条件画出势能曲线（1）势能曲线势能的平均值为：令第一个带隙宽度第二个带隙宽度（2）带隙宽度4.3题解答完毕4.4用紧束缚近似求出面心立方晶格和体心立方晶格s态原子能级相对应的能带函数先求面心立方晶格s态原子能级相对应的能带Es（k）函数，利用公式：解：s原子态波函数具有球对称性，则：取任选取一个格点为原点，最近邻格点有12个代入能量公式类似的表示共有12项，归并化简后，得到面心立方s态原子能级相对应的能带为：对于体心立方格子，任选取一个格点为原点有8个最邻近格点，最近邻格点的位置为：类似的表示共有8项,归并化简后得到体心立方s态原子能级相对应的能带代入能量公式4.4题解答完毕01sikkssEkJJe1,nikkatnsnnkrerkNM点的布洛赫波为:1,mikkatmsmmkrerkN4.5题略p582在只考虑S态电子的情下，由一维简单晶格的布洛赫波为：解：S态原子对应的能带函数其中矩阵元:所以此时久期方程变为:其中由于原子波函数满足薛氏方程：晶体的哈密顿量写成H，所以矩阵元即库仑积分交叠积分由于晶体不同原子的电子波函数很少相互交迭，所以上式中只有当是相邻原子是相同原子时才不为零4.5题解答完毕(2)解：(1)=4.6题略4.6题解答完毕解：只计入最近邻格点原子的相互作用时，s态原子能级相对应的能带函数表示为：4.7有一一维单原子链，原子间距a，总长度为L＝Na1)用紧束缚近似方法求出与原子s态能级相对应的能带函数2)求出其能带密度函数的表达式3)如每个原子s态中只有一个电子，计算T=0K时的费密能级和处的能态密度对于一维情形,任意选取一个格点为原点，有两个最近邻的格点，坐标为：a和－a能带密度函数的计算对于一维格子，波矢为具有相同的能量此外考虑到电子自旋有2种取向，在dk区间的状态数为：能带密度T=0K的费密能级计算：总的电子数其中T=0K的费密能级T=0K费密能级处的能态密度4.7题解答完毕4.8（1）证明一个简单正方晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区一边中点大2倍。（2）对于一个简单立方晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区面心上大多少?（3）第二问的结果对于二价金属的电导率可能会产生什么影响。解(1)设简单正方晶格的晶格常数为a，倒格子基矢为：区边中点A的波矢为：,自由电子能量为：角顶B点的波矢为：如图所示，第一布里渊区仍然为一个正方形ABOA点能量为：B点能量(2)简单立方晶格的晶格常数为a，倒格子基矢为可见，εB=2εA，即第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区一边中点大2倍。面中心点A的波矢为：因为自由电子能量为：角顶B点的波矢为：如图所示，第一布里渊区仍然为一个立方体，立方体中心为O点。BAA点能量为：B点能量为：所以(3)第二问的结果对于二价金属的电导率可能会产生什么影响？如果二价金属具有简单立方品格结构，布里渊区如图所示，根据自由电子理论，自由电子的能量为，Fermi面应为球面。由(2)可知，内切于4点的内切球的体积，于是在K空间中，内切球内能容纳的电子数为：其中343a33421.047332VNNa3VNa二价金属每个原子可以提供2个自由电子，内切球内只能装下每原子1.047个电子，余下的0.953个电子可填入其它状态中。如果布里渊区边界上存在大的能量间隙，则余下的电子只能填满第一区内余下的所有状态(包括B点)。这样，晶体将只有绝缘体性质。然而由(2)可知，B点的能量比A点高很多，从能量上看，这种电子排列是不利的。事实上，对于二价金属，布里渊区边界上的能隙很小，对于三维晶体，可出现一区、二区能带重迭．这样，处于第一区角顶附近的高能态的电子可以“流向”第二区中的能量较低的状态，并形成横跨一、二区的球形Fermi面。因此，一区中有空态存在，而二区中有电子存在，从而具有导电功能。实际上，多数的二价金属具有六角密堆和面心立方结构，能带出现重达，所以可以导电。4.8题解答完毕由于能带的交叠，能带1中的部分电子转移到能带2中，而在能带1中形成空穴，讨论时的费密能级其中为能带1的带顶，为能带2的带底4.9半金属交叠的能带半金属的能带1和能带2能带1的能态密度3121112222()()(0)()(2)VmNEEEk同理能带2的能态密度32222202222()()()()(2)VmNEEkEk半金属如果不发生能带重合，电子刚好填满一个能带，由于能带交叠，能带1中的电子填充到能带2中，满足4.9题解答完毕4.10题略设则所以设铜的晶格常数为a,则对于面心立方晶体中解：计算得到即时费米球与第一布里渊区边界相切面心立方结构的倒格基矢构成的体心立方的边长为当时即为所求：面心立方的倒格子为体心立方4.10题解答完毕4.11三维简单立方晶格，立方原胞边长为a，试用简约布里渊区表示自由电子的能量，定性画出沿GX轴与六个近邻倒格点相对应的自由电子的E(k)函数。解：简单立方晶格的6个近邻格点坐标为,000,a,00,0,,0,00,,00,0,aaaaa，因为用简约布里渊区，且沿GX轴轴，则0zykkakx)10(22222222amkkkmzyx自由电子能量：六个近邻倒格点的自由电子的E(k)函数：六个近邻倒格点为：,,a200,,a200,,a200,,a200,,a200,,a200xyzEkkkkmmama2222222222224.11题解答完毕4.12设有二维正方晶格，晶体势场用近自由电子近似的微扰论近似求出在布里渊顶角(/a,/a)处的能隙解：晶体布里渊顶角(/a,/a)处的能隙近自由电子近似中，势能函数的第n个傅里叶系数晶体势场：布里渊顶角代入布里渊顶角处的能隙4.12题解答完毕4.13.证明面心立方晶体的S带紧束缚近似下的E(k)函数，在沿着布里渊区几个主对称轴方向，可以约化成以下形式。①沿FX②沿FL③沿FK④沿FWcos214)1,2,0(Eoakkkxzy2cos12210,2Eakkkzyxcos2cos4430,2,02Eakkkyxz21coscos21coscos410,221,2,0Eakakkyzx解：面心立方的12个近邻格点为0,2,2a-0,2,2a2,2,00,2,2a0,2,2a-2,2,02,0,2a-0,2,2a-2,2,02,0,2a0,2,2a2,2,0aaaaaaaaaaaaaaaa所以zxzyyxikkkiiakakakakakakekESS21cos21cos21cos21cos21cos21cos4近邻cos214221cos1221cos4iiaaaakE将各个方向给定的k值代入即得：22cos12cos34EEkEcos2cos42EkE21cos21coscoscos4EkE(1)ΓX(2)ΓL(3)ΓK(4)ΓW本章习题完毕