二阶、三阶行列式及n阶行列式的概念.ppt

第一章行列式和线性方程组的求解§1.1二阶,三阶行列式§1.2n阶行列式的概念2011.9.19设二元一次线性方程组为11112212112222axaxbaxaxb112212210aaaa其中行列式是一种算式,是根据线性方程组求解的需要引进的.二阶和三阶行列式对方程组用加减消元法求出解:122122111221221112121211221221baabxaaaaabbaxaaaa此解不易记忆，因此有必要引进新的符号“行列式”来表示解．如果定义二阶行列式如下(对角线法则）：11122122aaDaa11221221aaaa01212,DDxxDD1121122122222baDbaabba1112112121212abDabbaab当系数行列式D0时,则方程组有唯一解,其解可表示为:121235122xxxx解3512D115822D231712D则方程组的解为1122811711DxDDxD例1求解方程组由于325(1)110如果定义三阶行列式如下(对角线法则）：111122133121122223323113223333axaxaxbaxaxaxbaxaxaxb那么对三元一次方程组112233122331132132aaaaaaaaa132231122133112332aaaaaaaaaa11a12a13a21a22a23a31a32a33312122,,DDDxxxDDD1121312222333233,baaDbaabaa其中30411221041141232110例21111322122331333,abaDabaaba1112132122231323aabDaabaab在系数行列式D0时,方程组有唯一解,其解可表示为:问题：4阶行列式应如何定义?a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34a41a42a43a44用对角线法则可以吗？问题：怎样定义n阶行列式?定义由1,2,…,n组成的有序数组称为一个n阶(全)排列,一般记为:12njjj例如自然数1,2,3的排列共有六种.例如12…n是一个n阶排列,叫自然排列.全排列的逆序数、对换阶排列共有种!nn在一个排列中,如果一个大12njjj数排在小数的前面,则称这两个数构成一个逆序.一个排列的逆序总数称为逆序数,表示为12().njjj如果12()njjj为偶数,则称为偶排列.12()njjj为奇数,则称为奇排列.定义如果(12)n((1)21)nn(1)(2)1nn1(1)2nn例3(23541)因为所以23541是一个奇排列.例41450对换:在一个排列中互换两个数位置的变动(其它数不动).对换改变排列的奇偶性.()()1jiij11ssikkjjkki需要进行2s+1次相邻对换.证(1)相邻对换(2)不相邻对换定理1所以对换改变排列的奇偶性.奇排列s个偶排列t个(1,2)对换ts(1,2)对换ts证全部n(2)阶排列中奇偶排列各占一半.定理2设个阶排列中有s(t)个奇(偶)排列!nn!2nst!stn用排列观点总结三阶行列式:123123123111213()212223123313233(1)jjjjjjjjjaaaaaaaaaaaan阶行列式的定义为3！项代数和;每项为取自不同行列的3个元素之积;行按自然顺序取时,每项符号由列标排列的奇偶性决定.111212122212nnnnnnaaaaaaaaa121212()12(1)nnnjjjjjnjjjjaaa定义此行列式可简记为det()ijnna或det().ijan阶行列式定义:为n!项代数和;每项为取自不同行列的n个元素之积;行按自然顺序取时,每项符号由列标排列的奇偶性决定.归纳如下：注用定义只能计算一些简单的行列式.1.一阶行列式1111,aa22.2.二、三阶行列式不是绝对值！注意对角线法则3.四阶行列式a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34a41a42a43a44计算上三角形行列式1122nnaaa例51niiia11121222nnnnaaaaaa11212212nnnnaaaaaa1122nnaaa计算行列式1234例6例7在下面的四阶行列式中，求λ4和λ3的系数。λ-a11-a12-a13-a14-a21λ-a22-a23-a24-a31-a32λ-a33-a34-a41-a42-a43λ-a44问题:如何决定下面一般项的符号?1122nnikikikaaa121212()()()(1)(1)nnniiikkkjjj1212njjnjaaa121212()12(1)nnniiiiiiniiiaaa111212122212nnnnnnaaaaaaaaa根据这个结论,也可以把行列式表示为:行列式还有其它的定义方式一般行列式不用定义来求值主要利用行列式性质求值注