2018年陕西省三模理数答案

书书书高三数学（理）参考答案及评分标准　第１　　　　页（共４页）２０１８年陕西省高三教学质量检测试题（三）参考答案及评分标准数学（理）一、选择题（本大题共１２小题，每小题５分，共６０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号１２３４５６７８９１０１１１２答案ＢＡＣＢＡＤＣＤＡＢＢＣ二、填空题（本大题共４小题，每小题５分，共２０分）１３．３　　　１４．２　　　１５．槡２３９π　　　１６．－１三、解答题（本大题分必考题和选考题两部分，第１３题～第２１题为必考题，每个试题考生都必须作答．第２２题～第２３题为选考题，考生根据要求作答．满分７０分．解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，以下每题只给出了一种解题细则，其他正确解法参照此解法赋分评卷）（一）必考题（共５小题，每小题１２分，共６０分）１７．解：（Ⅰ）∵犫ｃｏｓ犃－犪ｃｏｓ犅＝２犮，∴犃≠９０°，犅≠９０°．∴ｓｉｎ犅ｃｏｓ犃－ｃｏｓ犅ｓｉｎ犃＝２ｓｉｎ犆．（１分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!∴ｓｉｎ犅ｃｏｓ犃－ｃｏｓ犅ｓｉｎ犃＝２ｓｉｎ（犃＋犅）．（２分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!∴ｓｉｎ犅ｃｏｓ犃－ｃｏｓ犅ｓｉｎ犃＝２（ｓｉｎ犅ｃｏｓ犃＋ｃｏｓ犅ｓｉｎ犃）．∴ｓｉｎ犅ｃｏｓ犃＝－３ｃｏｓ犅ｓｉｎ犃．（４分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!∴ｔａｎ犅＝－３ｔａｎ犃．（５分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!（Ⅱ）由题意可得：犫２＋犮２－犪２槡＝３犫犮．∴ｃｏｓ犃＝犫２＋犮２－犪２２犫犮＝槡３犫犮２犫犮＝槡３２．（７分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!由０＜犃＜π，得犃＝π６．（８分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!∵ｔａｎ犃＝槡３３，∴ｔａｎ犅槡＝－３，由０＜犅＜π，得犅＝２π３，∴犆＝π６，犪＝犮．（１０分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!由犛＝１２犪犮ｓｉｎ２π３＝１２×槡３２犪２槡＝３，得犪＝２．（１２分）!!!!!!!!!!!!!!!!!１８．解：（Ⅰ）证明：取犗犗１的中点为犉，连接犃犉，犘犉，则犘犉∥犗犅．∵犃犙∥犗犅，∴犘犉∥犃犙．∴犘，犉，犃，犙四点共面．（１分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!由题可知，犗犅⊥犗犗１．∵平面犃犇犗１犗⊥平面犅犆犗１犗，且平面犃犇犗１犗∩平面犅犆犗１犗＝犗犗１，∴犗犅⊥平面犃犇犗１犗．高三数学（理）参考答案及评分标准　第２　　　　页（共４页）（第１８题答案图－１）∴犘犉⊥平面犃犇犗１犗．又∵犗犇平面犃犇犗１犗，∴犘犉⊥犗犇．在直角梯形犃犇犗１犗中，犃犗＝犗犗１，犗犉＝犗１犇，∠犃犗犉＝∠犗犗１犇，∴△犃犗犉≌△犗犗１犇．∴∠犉犃犗＝∠犇犗犗１．∴∠犉犃犗＋∠犃犗犇＝∠犇犗犗１＋∠犃犗犇＝９０°．∴犃犉⊥犗犇．（５分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!∵犃犉∩犘犉＝犉，且犃犉平面犘犃犙，犘犉平面犘犃犙，∴犗犇⊥平面犘犃犙．（６分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!（第１８题答案图－２）（Ⅱ）以犗为坐标原点，犗犃所在直线为狓轴，犗犅所在直线为狔轴，犗犗１所在直线为狕轴建立直角坐标系．∵犅犈＝２犃犈，犃犙∥犗犅，∴犃犙＝１２犗犅＝３．∴犙（６，３，０）．（７分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!∴→犙犅＝（－６，３，０），→犅犆＝（０，－３，６）．设平面犆犅犙的法向量为狀＝（狓，狔，狕），则狀１·→犙犅＝０，狀１·→犅犆＝０｛．∴－６狓＋３狔＝０，－３狔＋６狕＝０｛．（８分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!令狕＝１，则狔＝２，狓＝１，则狀１＝（１，２，１）．（９分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!显然，平面犃犅犙的法向量为狀２＝（０，０，１）．（１０分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!设二面角犆－犅犙－犃的平面角为θ，由图可知，θ为锐角，则ｃｏｓθ＝狀１·狀２｜狀１｜·｜狀２｜＝槡６６．（１２分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１９．解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，则１０×（０．０３５＋犪＋０．０２０＋０．０１４＋０．００４＋０．００２）＝１．∴犪＝０．０２５．∴市民非常满意的概率为０．０２５×１０＝１４．∵市民的满意度评分相互独立，故所求事件的概率犘＝１－犆０４（１４）０（３４）４－犆１４（１４）１（３４）３＝１－１８９２５６＝６７２５６．（４分）!!!!!（Ⅱ）按年龄分层抽样抽取１５人进行座谈，则老年市民抽１５×１３＝５人，从１５人中选取３名整改督导员的所有等可能情况为犆３１５，由题知犡的可能取值为０，１，２，３．犘（犡＝０）＝犆３１０犆３１５＝２４９１，犘（犡＝１）＝犆１５犆２１０犆３１５＝４５９１，犘（犡＝２）＝犆２５犆１１０犆３１５＝２０９１，犘（犡＝３）＝犆３５犆３１５＝２９１．（６分）!!!!!!!!!!!!!!!!!犡分布列为　　犡０１２３犘２４９１４５９１２０９１２９１∴犈（犡）＝０×２４９１＋１×４５９１＋２×２０９１＋３×２９１＝１．（８分）!!!!!!!!!!!!!!!!!（Ⅲ）由频率分布直方图，得（４５×０．００２＋５５×０．００４＋６５×０．０１４＋７５×０．０２＋８５×０．０３５＋９５×０．０２５）×１０＝８０．７，高三数学（理）参考答案及评分标准　第３　　　　页（共４页）∴估计市民满意度程度的平均得分为８０．７．∴市民满意度指数为８０．７１００＝０．８０７＞０．８．∴该地铁运营状况能够通过验收．（１２分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!２０．（Ⅰ）解：由△犉１犘犙的面积为槡１０６９得：１２×｜犘犙｜×２犮＝槡１０６９，解得犮＝槡３０３．（２分）!!!!!!!又狓２犪２＋狔２犫２＝１（犪＞犫＞０）满足犪２＝犫２＋犮２，且｜犘犙｜＝槡２５３＝２犫２犪，解得犪２＝５，犫２＝５３．∴椭圆方程为狓２５＋３狔２５＝１．（５分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!（Ⅱ）证明：设犃（狓１，狔１），犅（狓２，狔２）．将狔＝犽（狓＋１）代入狓２５＋３狔２５＝１，得（１＋３犽２）狓２＋６犽２狓＋３犽２－５＝０，（６分）!!!!!!!!!∴Δ＝４８犽２＋２０＞０，狓１＋狓２＝－６犽２３犽２＋１，狓１狓２＝３犽２－５３犽２＋１（７分）!!!!!!!!!!!!!!!∴→犕犃·→犕犅＝（狓１＋７３，狔１）·（狓２＋７３，狔２）＝（狓１＋７３）（狓２＋７３）＋狔１狔２＝（狓１＋７３）（狓２＋７３）＋犽２（狓１＋１）（狓２＋１）＝（１＋犽２）狓１狓２＋（７３＋犽２）（狓１＋狓２）＋４９９＋犽２（８分）!!!!!!!!!!!!!＝（１＋犽２）３犽２－５３犽２＋１＋（７３＋犽２）（－６犽２３犽２＋１）＋４９９＋犽２＝－３犽４－１６犽２－５３犽２＋１＋４９９＋犽２（１０分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!＝４９（定值）．（１２分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!２１．解：（Ⅰ）犳（狓）的定义域为（０，＋!），犳′（狓）＝１＋２狓２－犪（１狓＋２狓３）＝（狓２＋２）（狓－犪）狓３．（２分）!!!!!当犪≤０时，犳′（狓）＞０，犳（狓）在（０，＋!）上单调递增；当犪＞０时，当狓∈（０，犪），犳′（狓）＜０，犳（狓）单调递减；当狓∈（犪，＋!），犳′（狓）＞０，犳（狓）单调递增；（４分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!综上，当犪≤０时，犳（狓）在（０，＋!）上单调递增；当犪＞０时，犳（狓）在（０，犪）上单调递减，在（犪，＋!）上单调递增．（５分）!!!!!!!!!!（Ⅱ）由（１）知，犳（狓）ｍｉｎ＝犳（犪）＝犪－２犪－犪（ｌｎ犪－１犪２）＝犪－犪ｌｎ犪－１犪，（７分）!!!!!!!!!!设犵（犪）＝犪－犪ｌｎ犪－１犪，则犵′（犪）＝１－ｌｎ犪－１＋１犪２＝１犪２－ｌｎ犪，（８分）!!!!!!!!!!∵犵″（犪）＝－２犪３－１犪＜０，∴犵′（犪）单调递减．（９分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!又犵′（１）＞０，犵′（２）＜０，所以存在犪０∈（１，２），使得犵′（犪０）＝０，∴当犪∈（０，犪０）时，犵′（犪）＞０，犵（犪）单调递增；当犪∈（犪０，＋!）时，犵′（犪）＜０，犵（犪）单调递减；（１０分）!!!!!!!!!!!!!!!!!∴犵（犪）ｍａｘ＝犵（犪０）＝犪０－犪０ｌｎ犪０－１犪０，又犵′（犪０）＝０，即１犪２０－ｌｎ犪０＝０，ｌｎ犪０＝１犪２０，∴犵（犪０）＝犪０－犪０１犪２０－１犪０＝犪０－２犪０＝（犪０槡＋２）（犪０槡－２）犪０，∴犵（犪０）在（１，槡２）上单调递减，在（槡２，２）上单调递增．高三数学（理）参考答案及评分标准　第４　　　　页（共４页）∵犵（１）＝－１，犵（２）＝１，∴犵（犪０）＜１．∴犵（犪）＜１．即犳（狓）ｍｉｎ＜１．（１２分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!（二）选考题（共１０分．请考生在第２２、２３题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．）２２．解：（Ⅰ）设（狓１，狔１）为圆上的点，在已知变换下变为曲线犆上的点（狓，狔），依题意，得狓＝狓１，狔＝１２狔１烅烄烆．由狓２１＋狔２１＝４，得狓２＋（２狔）２＝４，即曲线犆的方程为狓２４＋狔２＝１．（３分）!!!!!!!!!故犆的参数方程为狓＝２ｃｏｓθ狔＝ｓｉｎ｛θ（θ为参数）．（５分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!（Ⅱ）由狓２４＋狔２＝１，狓＋２狔－２＝０烅烄烆，解得狓＝２，狔＝０｛，或狓＝０，狔＝１｛．（６分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!不妨设犘１（２，０），犘２（０，１），则线段犘１犘２的中点坐标为（１，１２），所求直线斜率为犽＝２，于是所求直线方程为狔－１２＝２（狓－１），整理得：４狓－２狔－３＝０．（９分）!!!!!!!!!∴极坐标方程为４ρｃｏｓθ－２ρｓｉｎθ－３＝０．（１０分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!２３．解：（Ⅰ）当狓≤１时，犳（狓）＝狓，∴犳（狓）＋１＞０狓＋１＞０，解得－１＜狓≤１；（１分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!当１＜狓≤２时，犳（狓）＝－３狓＋４，∴犳（狓）＋１＞０－３狓＋５＞０，解得１＜狓＜５３；（２分）!!!!!!!!!!!!!!!!!当狓＞２时，犳（狓）＝－狓，∴犳（狓）＋１＞０－狓＋１＞０，故狓∈；（３分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!综上可知，犳（狓）＋１＞０的解集为－１＜狓＜５３．（５分）!!!!!!!!!!!!!!!!!（Ⅱ）由（１）知：犳（狓）＝狓，　　　狓≤１，－３狓＋４，１＜狓≤２，－狓，狓＞２烅烄烆．（６分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!犳（狓）图象如图所示：（８分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!由图象知，当狓＝１时，犳（狓）＜－狓＋犪１＜－１＋犪，解得：犪＞２．（９分）!!!!!!!!!!∴实数犪的取值范围为（２，＋∞）．（１０分）!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!