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2020年高考数学模拟试卷（3月份）一、选择题1．设集合M＝{x|x2+x﹣2≤0}，N＝{x|log2x＜1}，则M∩N＝（）A．{x|﹣2≤x≤1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|1≤x＜2}D．{x|﹣2≤x＜2}2．已知向量＝（2，1），＝（3，t），||＝1，则•＝（）A．2B．3C．7D．83．设i为虚数单位，a∈R，“复数z＝﹣是纯虚数“是“a＝1“的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的和谐美．如果能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数“，下列说法错误的是（）A．对于任意一个圆，其“优美函数“有无数个B．f（x）＝x3可以是某个圆的“优美函数”C．正弦函数y＝sinx可以同时是无数个圆的“优美函数”D．函数y＝f（x）是“优美函数”的充要条件为函数y＝f（x）的图象是中心对称图形5．已知cos（﹣φ）＝，且|φ|＜，则tanφ等于（）A．﹣B．C．D．﹣6．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，且该棱柱的体积为，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，则该球的表面积为（）A．4πB．4πC．8πD．32π7．将全体正整数排成一个三角形数阵，按照以上排列的规律，第10行从左向右的第3个数为（）A．13B．39C．48D．588．已知F为双曲线C：﹣＝1（a＞b＞0）的右焦点，A，B是双曲线C的一条渐近线上关于原点对称的两点，•＝0，且AF的中点在双曲线C上，则C的离心率为（）A．﹣1B．2﹣1C．+1D．+1二、多项选择题9．我国于2015年10月宣布实施普遍二孩政策，为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄群体中随机抽取了容量为140的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各70人；男性60人，女性80人，绘制的不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图如图所示，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述正确的是（）A．是否倾向选择生育二胎与户籍有关B．是否倾向选择生育二胎与性别有关C．调查样本中倾向选择生育二胎的群群中，男性人数与女性人数相同D．倾向选择不生育二胎的群群中，农村户籍人数多于城镇户籍人数10．已知圆C：x2+y2﹣2x＝0，点A是直线y＝kx﹣3上任意一点，若以点A为圆心，半径为1的圆A与圆C没有公共点，则整数k的值可能为（）A．﹣2B．﹣1C．0D．111．已知a＝xlgx，b＝ylgy，c＝xlgy，d＝ylgx，且x≠1，y≠1，则（）A．∃x，y∈R+，使得a＜b＜c＜dB．∀x，y∈R+，都有c＝dC．∃x，y且x≠y，使得a＝b＝c＝dD．a，b，c，d中至少有两个大于112．已知在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F，H分别是AB，A1D1，BC1的中点，下列结论中正确的是（）A．D1C1∥平面CHDB．AC1⊥平面BDA1C．三棱锥D﹣BA1C1的体积为D．直线EF与BC1所成的角为30°三、填空题13．已知二项式的展开式中含x3项的系数是160，则实数a的值是．14．将函数f（x）＝2sin（2x﹣）向左平移个单位后得函数g（x），则g（x）在[0，]上的最大值是15．某超市春节大酬宾，购物满100元可参加一次抽奖活动，规则如下：顾客将一个半径适当的小球放入如图所示的容器正上方的人口处，小球在自由落下的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中，顾客相应获得袋子里的奖品．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左向右下落的概率都为．若活动当天小明在该超市购物消费108元，按照活动规则，他可参加一次抽奖，则小明获得A袋中的奖品的概率为16．已知函数f（x）＝px﹣﹣2lnx，若f（x）在定义域内为单调递增函数，则实数p的最小值为；若p＞0，在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＞成立，则实数p的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（1）c＝2b，A＝．（1）求C；（2）若•＝1，求c．18．甲、乙两同学在复习数列时发现原来曾经做过的一道数列问题因纸张被破坏，导致一个条件看不清，具体如下：等比数列{an}的前n项和为Sn，已知，（1）判断S1，S2，S3的关系；（2）若a1﹣a3＝3，设bn＝|an|，记{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn＜．甲同学记得缺少的条件是首项a1的值，乙同学记得缺少的条件是公比q的值，并且他俩都记得第（1）问的答案是S1，S3，S2成等差数列．如果甲、乙两同学记得的答案是正确的，请你通过推理把条件补充完整并解答此题．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，E为线段PB的中点．（1）证明：点F在线段BC上移动时，△AEF为直角三角形；（2）若F为线段BC的中点，求二面角A﹣EF﹣D的余弦值．20．已知椭圆C1：+＝1（a＞b＞0）的右顶点与抛物线C2：y2＝2px（p≥0）的焦点重合．C1的离心率为，过C1的右焦点F且垂直于x轴的直线截C2所得的弦长为4．（1）求椭圆C1和抛物线C2的方程；（2）过点M（3，0）的直线l与椭圆C1交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为点E，证明：直线AE过定点．21．调味品品评师的重要工作是对各种品牌的调味品进行品尝，分析、鉴定，调配、研发，周而复始、反复对比．对调味品品评师考核测试的一种常用方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的调味品让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶调味品，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．现设n＝4，分别以a1，a2，a3，a4表示第一次排序时被排为1，2，3，4的四种调味品在第二次排序时的序号，并令X＝|1﹣a1|+|2﹣a2|+|3﹣a3|+|4﹣a4|，则X是对两次排序的偏离程度的一种描述．（如第二次排序时的序号为1，3，2，4，则X＝2）．（1）写出X的所有可能值构成的集合；（2）假设a1，a2，a3+a4的排列等可能地为1，2，3，4的各种排列，求X的数学期望；（3）某调味品品评师在相继进行的三轮测试中，都有X≤2．（i）试按（2）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；（ⅱ）请你判断该调味品品评师的品味鉴别能力如何？并说明理由．22．已知函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1）．（1）当a＝e（e为自然对数的底数）时，（i）若G（x）＝f（x）﹣2x﹣m在[0，2]上恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围；（ii）若，求T（x）在[0，1]上的最大值；（2）当，数列{bn}满足．求证：．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M＝{x|x2+x﹣2≤0}，N＝{x|log2x＜1}，则M∩N＝（）A．{x|﹣2≤x≤1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|1≤x＜2}D．{x|﹣2≤x＜2}【分析】可以求出集合M，N，然后进行交集的运算即可．解：∵M＝{x|﹣2≤x≤1}，N＝{x|0＜x＜2}，∴M∩N＝{x|0＜x≤1}．故选：B．2．已知向量＝（2，1），＝（3，t），||＝1，则•＝（）A．2B．3C．7D．8【分析】由＝﹣先求出的坐标，然后根据||＝1，可求t，结合向量数量积定义的坐标表示即可求解．解：因为＝﹣＝（1，t﹣1）；∵||＝1，∴12+（t﹣1）2＝12⇒t＝0；∴＝（3，1），∴•＝2×3+1×1＝7；故选：C．3．设i为虚数单位，a∈R，“复数z＝﹣是纯虚数“是“a＝1“的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】先化简z，求出a，再判断即可．解：复数z＝﹣＝﹣是纯虚数，则a2＝1，a＝±1，a＝±1是a＝1的必要不充分条件，故选：B．4．数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的和谐美．如果能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数“，下列说法错误的是（）A．对于任意一个圆，其“优美函数“有无数个B．f（x）＝x3可以是某个圆的“优美函数”C．正弦函数y＝sinx可以同时是无数个圆的“优美函数”D．函数y＝f（x）是“优美函数”的充要条件为函数y＝f（x）的图象是中心对称图形【分析】利用“优美函数”的定义判断选项A，B，C正确，函数y＝f（x）的图象是中心对称图形，则函数y＝f（x）是“优美函数”，但是函数y＝f（x）是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，举出反例，可判断选项D错误．解：对于A：过圆心的直线都可以将圆的周长和面积同时平分，所以对于任意一个圆，其“优美函数”有无数个，故选项A正确；对于B：因为函数f（x）＝x3图象关于原点成中心对称，所以将圆的圆心放在原点，则函数f（x）＝x3是该圆的“优美函数”，故选项B正确；对于C：将圆的圆心放在正弦函数y＝sinx的对称中心上，则正弦函数y＝sinx是该圆的“优美函数”，故选项C正确；对于D：函数y＝f（x）的图象是中心对称图形，则函数y＝f（x）是“优美函数”，但是函数y＝f（x）是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，如图所示：，所以函数y＝f（x）的图象是中心对称图形是函数y＝f（x）是“优美函数”的充分不必要条件，故选项D错误，故选：D．5．已知cos（﹣φ）＝，且|φ|＜，则tanφ等于（）A．﹣B．C．D．﹣【分析】利用两角差得余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简已知的等式，得到sinφ的值，然后由φ的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosφ的值，再由同角三角函数间的基本关系，由sinφ和cosφ的值求出tanφ的值即可．解：由cos（﹣φ）＝coscosφ+sinsinφ＝，得sinφ＝﹣，又|φ|＜，得到﹣＜φ＜，∴cosφ＝＝，则tanφ＝＝﹣．故选：D．6．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，且该棱柱的体积为，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，则该球的表面积为（）A．4πB．4πC．8πD．32π【分析】利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，求出AA1，再求出△ABC外接圆的半径，即可求得球的半径，从而可求球的表面积．解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，∴×2×1×sin60°×AA1＝，∴AA1＝2∵BC2＝AB2+AC2﹣2AB•ACcos60°＝4+1﹣2，∴BC＝．设△ABC外接圆的半径为R，则＝2R，∴R＝1．∴外接球的半径为，∴球的表面积等于4π×（）2＝8π．故选：C．7．将全体正整数排成一个三角形数阵，按照以上排列的规律，第10行从左向右的第3个数为（）A．13B．39C．48D．58【分析】根据题意，分析可得第n行的第一个数字为+1，进而可得第20行的第一个数字，据此分析可得答案．解：由排列的规律可得，第n﹣1行结束的时候共排了1+2+3+…+（n﹣1）＝＝个数，则第n行的第一个数字为+1，则第10行的第一个数字为46，故第10行从左向右的第3个数为48；故选：C．8．已知F为双曲线C：﹣＝1（a＞b＞0）的右焦点，A，B是双曲线C的一条渐近线上关于原点对称的两点，•＝0，且AF的中点在双曲线C上，则C的离心率为（）A．﹣1B．2﹣1C．+1D．+1【分析】根据条件设出A，B的坐标，结合向量数量积求出A，B的坐标，结合中点坐标公式建立方程进行求解即可．解：设双曲线的一条渐近线是y＝x，设A（m，m），m＞0，则B（﹣m，﹣m