常微分方程试题库试卷库

常微分方程期终考试试卷(1)一、填空题（30%）1、方程(,)(,)0MxydxNxydy有只含x的积分因子的充要条件是（）。有只含y的积分因子的充要条件是______________。２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。４、若12(),(),,()nXtXtXt为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________。５、形如___________________的方程称为欧拉方程。６、若()t和()t都是'()xAtx的基解矩阵，则()t和()t具有的关系是_____________________________。７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。二、计算题（６０％）1、3()0ydxxydy２、sincos2xxtt３、若2114A试求方程组xAx的解12(),(0)t并求expAt４、32()480dydyxyydxdx５、求方程2dyxydx经过（0，0）的第三次近似解6.求1,5dxdyxyxydtdt的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.三、证明题（１０％）１、n阶齐线性方程一定存在n个线性无关解。试卷答案一填空题１、()MNyxxN()MNyxyM２、2()()()dypxyQxyRxdxyyz３、()()ndypxyQxydx(1)()(,)npxdxnuxyye４、12[(),(),,()]0nwxtxtxt５、11110nnnnnnndyddyxaaaydxdxdx６、()()ttC７、零稳定中心二计算题１、解：因为1,1MNyx，所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子22ln21()dyyyyeey，两边同乘21y得320dxxydyyy所以解为321xxyydxdycyyy22xycy即22()xyyc另外y=0也是解２、线性方程0xx的特征方程210故特征根i1()sinftti是特征单根，原方程有特解(cossin)xtAtBt代入原方程A=-12B=02()cos2ftt2i不是特征根，原方程有特解cos2sin2xAtBt代入原方程13AB=0所以原方程的解为1211cossincoscos223xctctttt３、解：221()69014p解得1,23此时k=112n12v111123322120()()(3)()!ititittteAEeti由公式expAt=10()!intiiteAEi得33310111exp(3)01111tttttAteEtAEetett４、解：方程可化为3284dyydxxdyydx令dypdx则有3284pyxyp（*）（*）两边对y求导：322322(4)(8)4dpypypypypdy即32(4)(2)0dppyypdy由20dpypdy得12pcy即2()pyc将y代入（*）2224cpxc即方程的含参数形式的通解为：22224()cpxcpycp为参数又由3240py得123(4)py代入（*）得：3427yx也是方程的解５、解：00210022520041072511830002()4220()4400202204400160xxxyxyxdxxxxyxdxxxxxxxxyxdx６、解：由1050xyxy解得奇点（3，-2）令X=x-3,Y=y+2则dxxydtdyxydt因为1111=1+10故有唯一零解（0，0）由221121122011得1i故（3，-2）为稳定焦点。三、证明题由解的存在唯一性定理知：n阶齐线性方程一定存在满足如下条件的n解：10200''1020011110200()1,()0,,()0()0,()1,,()0()0,()0,,()1nnnnnnxtxtxtxtxtxtxtxtxt考虑10200100010[(),(),,()]10001nwxtxtxt从而()(1,2,)ixtin是线性无关的。常微分方程期终试卷(2)一、填空题30%1、形如____________的方程，称为变量分离方程，这里.)().(yxf分别为x.y的连续函数。2、形如_____________的方程，称为伯努利方程，这里xxQxP为)().(的连续函数.n，可化为线性方程。是常数。引入变量变换1.03、如果存在常数使得不等式,0L_____________对于所有称为利普希兹常数。都成立，（LRyxyx),(),,21函数),(yxf称为在R上关于y满足利普希兹条件。4、形如_____________-的方程，称为欧拉方程，这里是常数。,,21aa5、设是的基解矩阵，是)()(tAxxt)()(tfxtAx的某一解，则它的任一解可表为)(t_____________-。二、计算题40%1、求方程的通解。26xyxydxdy2、求方程xyexydxdy的通解。3、求方程texxx25'6''的隐式解。4、求方程）的第三次近似解。、通过点（002yxdxdy三、证明题30%1.试验证t=122ttt是方程组x'=tt22102x,x=21xx，在任何不包含原点的区间abt上的基解矩阵。2.设t为方程x'=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明:t1(t0)=(t-t0)其中t0为某一值.《常微分方程》期终试卷答卷一、填空题（每空5分）1)()(yxfdxdy2、nyxQyxPdxdy)()(z=ny13),(),(21yxfyxf21yyL4、011111yadxdyxadxydxadxydxnnnnnnnn5、)()()(ttt二、计算题（每题10分）1、这是n=2时的伯努利不等式，令z=1y,算得dxdyydxdz2代入原方程得到xzxdxdz6，这是线性方程，求得它的通解为z=826xxc带回原来的变量y，得到y1=826xxc或者cxyx886，这就是原方程的解。此外方程还有解y=0.2、解：xyxexyedxdyxyxydxyxexdyxy)(dxxeydxxdyxydxxedxyxyxdxedxyxy积分：cxexy221故通解为：0212cexxy3、解：齐线性方程05'6''xxx的特征方程为0562，5,121，故通解为ttecectx521)(2不是特征根，所以方程有形如tAetx2)(把)(tx代回原方程tttteAeAeAe22225124211A于是原方程通解为ttteecectx2521211)(4、解0)(0xxxdxxxx022012)]([)(202)]([)(502212xxdxxxxx4400160202)]([)(118502223xxxxdxxxxx三、证明题（每题15分）1、证明：令t的第一列为1(t)=tt22,这时'1(t)=22t=tt221021(t)故1(t)是一个解。同样如果以2(t)表示t第二列，我们有2(t)=01=tt221022(t)这样2(t)也是一个解。因此t是解矩阵。又因为dett=-t2故t是基解矩阵。2、证明：（1）t,(t-t0)是基解矩阵。（2）由于t为方程x'=Ax的解矩阵，所以t1(t0)也是x'=Ax的解矩阵，而当t=t0时，(t0)1(t0)=E,(t-t0)=（0）=E.故由解的存在唯一性定理，得t1(t0)=(t-t0)常微分方程期终试卷(3)一.解下列方程(10%*8=80%)1.1.2xylnydx+{2x+2y21y}dy=02.dxdy=6xy-x2y3.'y=22)12(yxy4.x'y=22yx+y5.5.tgydx-ctydy=06.6.{y-x(2x+2y)}dx-xdy=07．一质量为m质点作直线运动，从速度为零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为1k）的力作用在它上面，此外质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为2k）。试求此质点的速度与时间的关系。8.已知f(x)xdttf0)(=1,x0,试求函数f(x)的一般表达式。二．证明题(10%*2=20%)9.试证：在微分方程Mdx+Ndy=0中，如果M、N试同齐次函数，且xM+yN0,则)(1yNxM是该方程的一个积分因子。10.证明：如果已知黎卡提方程的一个特解，则可用初等方法求得它的通解。试题答案：1.解：My=2xlny+2x,Ny=2x,则MNyxM=2ln2lnxyxyy=1y,故方程有积分因子y=1dyye=1y，原方程两边同乘以1y得2lnxyyydx+2221yyyxdy=0是恰当方程.d(2xlny)+y21ydy=0,两边积分得方程的解为2xlny+321231y=C。2.解：1）y=0是方程的特解。2）当y0时，令z=1y得dzdx=6xz+x.这是线性方程，解得它的通解为z=268cxx代回原来的变量y得方程解为1y=268cxx；y=0.3.解：令x=u+3,y=v2,可将原方程变为dvdu=22vuv，再令z=vu，得到z+dzuu=221zz，即dzuu=2211zzz，分离变量并两端积分得2121dzzz=duu+lnC即lnz+2arctgz=lnu+lnC，lnzu=2arctgz+lnC代回原变量得v=C2varctgue所以，原方程的解为y+2=C223yarctgxe.4.解：将方程改写为'y=21xy+xy（*）令u=xy,得到x'y=x'u+u,则(*)变为xdxdu=u1,变量分离并两边积分得arcsinu=lnu+lnC,故方程的解为arcsinxy=lnCx。5.解：变量分离ctgxdy=tgydx,两边积分得ln(siny)=lnxcos+C或sinycosx=C(*)另外，由tgy=0或ctgx=0得y=k(k=0、1…)，x=t+2(t=0、1…)也是方程的解。tgy=0或ctgx=0的解是(*)当C=0时的特殊情况，故原方程的解为sinycosx=C。6.解：ydx-xdy-x(2x+2y)dx=0,两边同除以2x+2y得22ydxxdyyxxdx=0,即d(arctgxy)12d2x=0,故原方程的解为arctgxy122x=C。7．解：因为F=ma=mdvdt，